Belirli İntegral ve Alan Soru Çözümü

$u = x^2 + 1$ olarak alınırsa, $du = 2x \, dx$ olur. Verilen integralde $2x \, dx$ ifadesi $du$'ya eşittir ve $(x^2+1)^3 = u^3$ olur. Ayrıca, sınırlar değişir: $x=0$ için $u=1$, $x=1$ için $u=2$. Böylece integral $$\int_{1}^{2} u^3 \, du$$ şeklinde yazılır.

Verilen limit, $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ fonksiyonunun $[0,3]$ aralığındaki belirli integralinin Riemann toplamıdır: $$\int_0^3 \sqrt{9-x^2} dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$$ burada $\Delta x = \frac{3}{n}$ ve $x_i = \frac{3i}{n}$ (sağ uç noktalar). $y = \sqrt{9-x^2}$ eğrisi, merkezi orijinde ve yarıçapı 3 olan çemberin üst yarısını temsil eder. $x=0$ dan $x=3$ e kadar olan kısım, bir çeyrek daire oluşturur. Çemberin alanı $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$ olduğundan, çeyrek dairenin alanı $\frac{9\pi}{4}$ olur. Dolayısıyla integralin değeri $\frac{9\pi}{4}$'tür.

Ters fonksiyon: $f^{-1}(x) = \frac{x-4}{2}$ bulunur. $x$-ekseni ile kesişimi için $y=0$: $\frac{x-4}{2}=0 \Rightarrow x=4$. $y$-ekseni ile kesişimi için $x=0$: $y=\frac{0-4}{2} = -2$. Bölge, $x$-ekseni üzerinde $0$ ile $4$ arasında ve doğrunun altında kalan üçgensel bölgedir. Doğru denklemi $y=\frac{x-4}{2}$, $0 \le x \le 4$ için negatif olduğundan, alan mutlak değerle hesaplanır:

$$\text{Alan} = \int_{0}^{4} \left| \frac{x-4}{2} \right| dx = \int_{0}^{4} \frac{4-x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} (4-x) dx = \frac{1}{2} \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} (16 - 8) = 4.$$

Doğru cevap $4$'tür.