Karmaşık Sayılar Soru Çözümü

Önce $z$'yi standart biçime getirmeliyiz. Pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız:

$$z = \frac{3 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{(3 + i)(2 + i)}{2^2 + 1^2} = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{6 + 5i - 1}{5} = \frac{5 + 5i}{5} = 1 + i$$

Şimdi çarpımsal tersi: $$\frac{1}{z} = \frac{1}{1 + i} = \frac{1}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{1 - i}{1^2 + 1^2} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$$

Bu nedenle doğru cevap $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$'dir.

Bir karmaşık sayının eşleniği ile çarpımı, modülünün karesine eşittir. $z = 5 + 3i$ ise eşleniği $\overline{z} = 5 - 3i$ olur. Çarpım:

$$z \cdot \overline{z} = (5 + 3i)(5 - 3i) = 25 - 15i + 15i - 9i^2 = 25 - 9(-1) = 25 + 9 = 34$$

Alternatif olarak, modül formülü kullanılabilir: $|z|^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

$i$'nin kuvvetleri periyodiktir: her 4'lük grupta toplam 0'dır: $i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0$. $20$ sayısı 4'ün katı olduğu için ($20 = 4 \times 5$), toplam 5 tane 0'ın toplamı yani $0$ olur.