Trigonometri (İleri) Soru Çözümü

Denklemi homojen ikinci dereceden trigonometrik denklem olarak $\cos^2 x$'e bölersek ( $\cos x \ne 0$ varsayımıyla):

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 2\frac{\sin x\cos x}{\cos^2 x} - 2 = \tan^2 x - 2\tan x - 2 = 0$$

İkinci dereceden denklem çözülürse:

$$\tan x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$

Yani $\tan x = 1 + \sqrt{3}$ veya $\tan x = 1 - \sqrt{3}$.

$\tan$ fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğundan, $[0, 2\pi]$ aralığında her bir $\tan$ değeri için ikişer $x$ değeri vardır (örneğin, $x_1 = \arctan(1+\sqrt{3})$ ve $x_2 = \pi + \arctan(1+\sqrt{3})$, benzer şekilde diğeri için). Toplamda 4 farklı çözüm bulunur.

Önce denklemi çözelim: $\tan(2x) = \sqrt{3}$. Temel açılar: $\tan\theta = \sqrt{3}$ ise $\theta = \frac{\pi}{3} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Burada $\theta = 2x$ olduğu için:

$$2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$$

$x \in [0, \pi]$ için $k$ değerlerini bulalım:

• $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$
• $k=1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3}$
• $k=2$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} > \pi$ (geçersiz)
• $k=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} < 0$ (geçersiz)

Ayrıca, $\tan(2x)$ fonksiyonu $2x = \frac{\pi}{2} + m\pi$ (yani $x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}$) noktalarında tanımsızdır, ancak bu değerler denklemi sağlamaz. Dolayısıyla, $[0, \pi]$ aralığında 2 farklı $x$ değeri vardır: $\frac{\pi}{6}$ ve $\frac{2\pi}{3}$.

Öncelikle yarı çevre $s$ hesaplanır: $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+15+17}{2} = 20$ cm. Yarım açı formülüne göre, $\sin(A/2) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} = \sqrt{\frac{(20-15)(20-17)}{15 \times 17}} = \sqrt{\frac{5 \times 3}{255}} = \sqrt{\frac{15}{255}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$. Ayrıca, $\cos(A/2) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} = \sqrt{\frac{20 \times (20-8)}{255}} = \sqrt{\frac{240}{255}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$. Sinüs toplam formülü ile $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{17}} \times \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{8}{17}$. Üçgenin alanı: Alan $= \frac{1}{2} b c \sin(A) = \frac{1}{2} \times 15 \times 17 \times \frac{8}{17} = 60$ cm².