İkinci Dereceden Eşitsizlikler Soru Çözümü

Parabolün tepe noktası $T(2,1)$ olduğuna göre, denklem tepe formunda $f(x) = a(x-2)^2 + 1$ şeklinde yazılabilir. Parabol $A(0,5)$ noktasından geçtiği için, $x=0$ ve $y=5$ yazarsak: $5 = a(0-2)^2 + 1 = 4a + 1$, buradan $4a=4$ ve $a=1$ bulunur. O halde $f(x) = (x-2)^2 + 1$ olur.

$f(x) \leq 1$ eşitsizliğini çözelim: $(x-2)^2 + 1 \leq 1$ ise $(x-2)^2 \leq 0$ olur. Bir karenin değeri her zaman sıfır veya pozitif olduğundan, $(x-2)^2 \leq 0$ eşitsizliği sadece $(x-2)^2 = 0$ iken sağlanır, yani $x=2$ için. Bu nedenle çözüm kümesi sadece $x=2$ elemanından oluşur, yani $\{2\}$.

İlk eşitsizliği çözelim: $\frac{x+2}{x-1} \geq 0$. Kökler: pay $x=-2$, payda $x=1$ (tanımsız). İşaret tablosu:

• $x < -2$: örn. $x=-3$, $\frac{-1}{-4} > 0$
• $-2 < x < 1$: örn. $x=0$, $\frac{2}{-1} < 0$
• $x > 1$: örn. $x=2$, $\frac{4}{1} > 0$

$\geq 0$ olduğu için, pozitif veya sıfır aralıklar. $x=-2$ dahil (pay sıfır), $x=1$ dahil değil. Çözüm: $(-\infty, -2] \cup (1, \infty)$.

İkinci eşitsizlik: $x^2 - 4x + 3 < 0$. Kökler: $x=1$ ve $x=3$. İşaret analizi: $(x-1)(x-3) < 0 \Rightarrow 1 < x < 3$. Çözüm: $(1, 3)$.

Sistemin çözümü, her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir: $((-\infty, -2] \cup (1, \infty)) \cap (1, 3) = (1, 3)$.

Mutlak değer içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$. Kökleri $x=-2$ ve $x=3$.

Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma bölelim:

• Durum 1: $x^2-x-6 \geq 0$ yani $x \leq -2$ veya $x \geq 3$ iken: $x^2-x-6 \leq x+2$ → $x^2-2x-8 \leq 0$ → $(x-4)(x+2) \leq 0$ → Çözüm kümesi $[-2,4]$. Bu durumla kesişimi: $[-2,-2] \cup [3,4]$ yani $\{-2\} \cup [3,4]$.
• Durum 2: $x^2-x-6 < 0$ yani $-2 < x < 3$ iken: $-(x^2-x-6) \leq x+2$ → $-x^2+x+6 \leq x+2$ → $-x^2+4 \leq 0$ → $x^2-4 \geq 0$ → $(x-2)(x+2) \geq 0$ → Çözüm kümesi $(-\infty,-2] \cup [2,\infty)$. Bu durumla kesişimi: $[2,3)$.

Sonuç: İki durumun birleşimi: $\{-2\} \cup [2,3) \cup [3,4] = \{-2\} \cup [2,4] = [-2,4]$. Bu aralık seçeneklerden E şıkkıdır.