Çokgenler ve Dörtgenler (İleri) Soru Çözümü

Verilenlere göre:

• Eşkenar dörtgende köşegenler açıortaydır ve dik kesişirler ($\angle AOB = 90^\circ$ genel kural). Ancak soruda ikizkenar üçgen özelliği verilmiş, bunu kontrol edelim.
• $\angle DAB = 120^\circ$ olduğundan, köşegen $AC$ bu açıyı iki eşit parçaya böler: $\angle BAO = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
• Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir, yani $\angle AOB = 90^\circ$ olur. Ancak $\triangle ABO$ ikizkenar ve $AO = AB$ verilmiş.
• İkizkenar üçgende, eşit kenarlar $AO$ ve $AB$ ise, taban açıları eşittir: $\angle AOB = \angle ABO$.
• $\triangle ABO$'da iç açılar toplamı: $\angle BAO + \angle AOB + \angle ABO = 180^\circ$. $\angle BAO = 60^\circ$ ve $\angle AOB = \angle ABO = x$ dersek: $60^\circ + x + x = 180^\circ$ → $2x = 120^\circ$ → $x = 60^\circ$.
• Bu durumda $\angle AOB = 60^\circ$ olur, ancak köşegenlerin dik kesişme kuralı ile çelişiyor. Soruda ikizkenar üçgen özelliği öncelikli olduğu için, hesabımız doğru. Ancak seçeneklerde $60^\circ$ ve $90^\circ$ var. İkizkenar durumunu düşünelim: $AO = AB$ ise, $\triangle ABO$'da $\angle AOB = \angle ABO$ dedik, ve $\angle BAO = 60^\circ$'den $\angle AOB = 60^\circ$ bulunur. Fakat eşkenar dörtgende köşegenler her zaman dik kesişir, bu yüzden $\angle AOB = 90^\circ$ olmalı. Burada çelişki var; soruda ikizkenar özelliği verilerek özel bir durum yaratılmış, bu durumda $\angle AOB = 90^\circ$ olur çünkü köşegenler dik kesişir. Hesabımızı yeniden yapalım: $\angle BAO = 60^\circ$ ve köşegenler dik olduğundan $\angle AOB = 90^\circ$, bu durumda $\angle ABO = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$, bu ikizkenar değil. Soru metninde $\triangle ABO$ ikizkenar ve $AO = AB$ denmiş, bu özel bir durum: eğer $AO = AB$ ise, $\triangle ABO$ ikizkenar, $\angle AOB = \angle ABO$. Köşegenler dik olduğu için $\angle AOB = 90^\circ$ olursa, $\angle ABO = 90^\circ$ olur, bu da $\angle BAO = 0^\circ$ yapar, çelişki. Dolayısıyla bu durumda $\angle AOB = 60^\circ$ bulunur, ancak bu köşegenlerin dikliğini bozar. Soruda ikizkenar üçgen özelliği vurgulandığı için, $\angle AOB = 60^\circ$ olmalı. Seçeneklerde $60^\circ$ var, bu C şıkkı. Ama doğru cevap $90^\circ$ olmalı çünkü eşkenar dörtgen özelliği geçerli. Soruda çelişki yok, ikizkenar üçgen durumu verilmiş, bu durumda $\angle AOB = 60^\circ$ olur, fakat bu eşkenar dörtgen kuralıyla uyuşmaz. Bu yüzden, soru eşkenar dörtgen ve ikizkenar üçgenin birleşimini test ediyor: $\angle AOB = 90^\circ$ (köşegenler dik) ve $\triangle ABO$ ikizkenar ($AO = AB$) ise, $\angle AOB = \angle ABO = 90^\circ$ olur, bu mümkün değil. O halde, $\angle AOB = 60^\circ$ bulunur. Doğru cevap $60^\circ$ (C şıkkı). Ama başta $90^\circ$ dedik, düzeltelim. İkizkenar durumunda: $\angle BAO = 60^\circ$, $\angle AOB = \angle ABO = x$, $60^\circ + 2x = 180^\circ$, $x = 60^\circ$. Doğru cevap $60^\circ$.

Dikdörtgende iç noktadan köşelere çizilen uzunluklar için, karşılıklı köşelerin uzunluklarının kareleri toplamı eşittir: $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$. Verilenleri yerine koyarsak: $5^2 + 9^2 = 7^2 + PD^2$ → $25 + 81 = 49 + PD^2$ → $106 = 49 + PD^2$ → $PD^2 = 57$ → $PD = \sqrt{57}$ cm.

Karenin bir kenarı $ a $ olsun. Kareyi koordinat düzleminde $ A(0,0) $, $ B(a,0) $, $ C(a,a) $, $ D(0,a) $ olarak yerleştirelim. $ [AC] $ köşegeni üzerindeki bir nokta $ P = (t,t) $ şeklindedir.

$ P $'den $ [AB] $'ye dikme: $ [AB] $ $ x$-ekseni üzerinde olduğundan, dikme düşey doğrudur ve $ E = (t,0) $ olur.

$ P $'den $ [BC] $'ye dikme: $ [BC] $ düşey doğru $ x=a $ olduğundan, dikme yatay doğrudur ve $ F = (a,t) $ olur.

$ \triangle AEP $: köşeler $ A(0,0) $, $ E(t,0) $, $ P(t,t) $. Bu bir dik üçgendir ve kenar uzunlukları $ AE = t $, $ EP = t $, $ AP = t\sqrt{2} $.

$ \triangle CFP $: köşeler $ C(a,a) $, $ F(a,t) $, $ P(t,t) $. Bu da bir dik üçgendir ve kenar uzunlukları $ CF = a-t $, $ FP = a-t $, $ PC = (a-t)\sqrt{2} $.

Bu iki üçgenin eş olması için karşılık gelen kenarlar eşit olmalıdır: $ t = a-t $, dolayısıyla $ t = \frac{a}{2} $.

Şimdi $ \triangle BEF $: köşeler $ B(a,0) $, $ E(a/2,0) $, $ F(a, a/2) $. Bu üçgen dik üçgendir ve dik açı $ B $'dedir. Kenar uzunlukları $ BE = \frac{a}{2} $, $ BF = \frac{a}{2} $, so alanı = $ \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8} $.

Karenin alanı $ a^2 $ olduğuna göre, oran = $ \frac{a^2/8}{a^2} = \frac{1}{8} $.