Toplam zaman aralığı 60 dakika. Doktor A'nın mola başlangıcı $a$, Doktor B'nin mola başlangıcı $b$ olsun, $0 \leq a, b \leq 45$ (çünkü mola 15 dakika sürüyor ve 60. dakikadan önce bitmeli). Karşılaşmaları için mola aralıklarının kesişmesi gerekir, yani $|a-b| \leq 15$ (çünkü her mola 15 dakika sürüyor, bu durumda en az bir an için üst üste binmelidirler). $a$ ve $b$ için kare bölge: $45 \times 45 = 2025$ alan. Karşılaşma bölgesi $|a-b| \leq 15$ eşitsizliğiyle belirlenir, bu da genişliği 30 olan bir şerittir. Karşılaşma bölgesinin alanı, toplam alandan iki üçgenin alanı çıkarılarak hesaplanır: $2025 - 2 \times \frac{1}{2} \times 30 \times 30 = 2025 - 900 = 1125$. Olasılık = $\frac{1125}{2025} = \frac{45}{81} = \frac{5}{9}$. Ancak bu, basit bir üst üste binme değil, en az bir noktada kesişme için doğrudur, yani $|a-b| \leq 15$. Hesaplamayı kontrol edelim: Karşılaşma bölgesi alanı = toplam alan - (karşılaşmama bölgesi alanı). Karşılaşmama bölgesi $|a-b| > 15$, yani iki üçgen: her biri taban ve yükseklik 30, alan $2 \times \frac{1}{2} \times 30 \times 30 = 900$. O halde karşılaşma alanı = $2025 - 900 = 1125$. Olasılık = $\frac{1125}{2025} = \frac{1125 \div 225}{2025 \div 225} = \frac{5}{9}$. Ama seçeneklerde $\frac{5}{9}$ yok. Tekrar kontrol: $a$ ve $b$ [0,45] aralığında, karşılaşma için $|a-b| \leq 15$. Kare alanı 2025. Karşılaşma bölgesi, merkez çizgisi $a=b$ ve genişliği 30 olan paralelkenar şeklinde. Alan = toplam alan - iki üçgen alanı. Üçgenlerin her birinin alanı = $\frac{1}{2} \times 30 \times 30 = 450$, toplam 900. Karşılaşma alanı = 2025 - 900 = 1125. Olasılık = $\frac{1125}{2025} = \frac{45}{81} = \frac{5}{9} \approx 0.555...$ Seçeneklerden $\frac{5}{9}$ yok, en yakın $\frac{1}{2}=0.5$ ve $\frac{9}{16}=0.5625$. Bir hata olabilir. Alternatif yaklaşım: Karşılaşma bölgesi alanı doğrudan hesaplanabilir. $a$ ve $b$ için koşul: $|a-b| \leq 15$, bu bir şerit. Alan = toplam alan - iki üçgen = 2025 - 900 = 1125. Bu doğru. Olasılık = $\frac{1125}{2025} = \frac{1125 \div 45}{2025 \div 45} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$. Ama seçenekler farklı. Soruyu gözden geçirelim: Belki mola süresi 15 dakika, dolayısıyla $a$ ve $b$ [0,45] aralığında. Doğru. Hesaplamayı basitleştirelim: Olasılık = $1 - \left(\frac{30}{45}\right)^2 = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$. Seçeneklerde $\frac{5}{9}$ olmadığına göre, soruda bir hata var veya seçenekler yanlış. Ama verilen seçeneklerden $\frac{7}{16}=0.4375$, $\frac{1}{2}=0.5$, $\frac{9}{16}=0.5625$, $\frac{5}{8}=0.625$, $\frac{11}{16}=0.6875$. $\frac{5}{9} \approx 0.555...$ en yakın $\frac{9}{16}=0.5625$. Ama bu tam değil. Belki zaman aralığı 60 dakika, mola 15 dakika, bu durumda $a$ ve $b$ [0,60] aralığında olamaz çünkü mola 60'ı aşabilir. Evet, $a$ ve $b$ [0,45] aralığında olmalı. Hesaplamam doğru. Seçenekler yanlış olabilir, ama biz doğru cevabı $\frac{5}{9}$ olarak belirleyelim ve seçenekleri buna göre ayarlayalım. Ama verilen talimatlara göre, seçenekler önceden belirlenmiş gibi değil, biz oluşturuyoruz. O halde seçenekleri değiştirelim. Veya başka bir yaklaşım: Belki toplam zaman 60 dakika, mola 15 dakika, bu durumda $a$ ve $b$ [0,45] değil [0,60] aralığında, ama mola 60'ı aşarsa, bu mümkün değil çünkü 60 dakika içinde bitmeli. Doğru aralık [0,45]. Olasılık $\frac{5}{9}$. Ama seçeneklerde yok. O halde soruyu veya seçenekleri düzelteceğim. Diyelim ki toplam zaman 1 saat = 60 dakika, mola 15 dakika, başlangıç zamanı [0,45]. Olasılık $\frac{5}{9}$. Seçenekleri buna göre düzenleyelim: A: $\frac{5}{9}$, B: $\frac{1}{2}$, C: $\frac{7}{16}$, D: $\frac{9}{16}$, E: $\frac{11}{16}$. Ama bu durumda doğru cevap A olur. Ama önceki soruda zaten benzer bir soru vardı, farklılık için başka bir soru yapalım. Belki bu soruyu değiştirelim. Alternatif bir soru: Zaman aralığı [0,60], mola süresi 20 dakika olsun. O zaman $a$ ve $b$ [0,40] aralığında. Karşılaşma için $|a-b| \leq 20$. Toplam alan 40x40=1600. Karşılaşmama bölgesi: iki üçgen, her biri taban ve yükseklik 20, alan 2*(1/2*20*20)=400. Karşılaşma alanı=1600-400=1200. Olasılık=1200/1600=3/4=0.75. Seçeneklerde olabilir. Ama daha basit tutalım. İlk soruda 10 dakika bekleme vardı, burada 15 dakika mola var. Belki bir hata yapmadım, sadece seçenekleri düzelteceğim. Ama talimatlar, soruların farklı tarzda olmasını istiyor. O halde bu soruyu, farklı bir bekleme süresi ve zaman aralığı ile yapalım. Saat 09:00-10:00 arasında, 20 dakika mola, olasılık hesaplayalım. $a,b \in [0,40]$, toplam alan 1600, karşılaşma için $|a-b| \leq 20$, karşılaşma alanı = 1600 - 2*(1/2*20*20)=1600-400=1200, olasılık=1200/1600=3/4. Seçenekler: A: 3/4, B: 5/8, C: 2/3, D: 7/12, E: 1/2. Doğru cevap A. Ama bu çok basit olabilir. Daha iyi bir soru için, soruyu şöyle değiştireyim: 'Doktor A ve Doktor B 08:00 ile 09:00 arasında rastgele zamanlarda molaya çıkıyor. Her doktor molasını 15 dakika sürdürüyor. İki doktorun mola sürelerinin kesişme olasılığı nedir?' ve olasılığı hesaplayıp seçenekleri ona göre ayarlayayım. Hesapladığım gibi olasılık 5/9. Seçenekleri şöyle yapayım: A: 5/9, B: 1/2, C: 7/16, D: 9/16, E: 11/16. Doğru cevap A olur. Ama 5/9 seçeneklerde var mı? Evet, ekledim. O halde soruyu buna göre düzenliyorum.
