Mutlak değeri parçalı fonksiyon olarak yazalım: $g(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{ if } x \le -2 \text{ veya } x \ge 2 \\ 4 - x^2, & \text{ if } -2 < x < 2 \end{cases}$
Türev alalım: $g'(x) = \begin{cases} 2x, & \text{ if } x < -2 \text{ veya } x > 2 \\ -2x, & \text{ if } -2 < x < 2 \end{cases}$ $x = -2$ ve $x=2$ noktalarında türev yoktur.
$g'(x) > 0$ olması için:
- $x < -2$ için: $2x > 0$ → $x > 0$ (çelişki, çünkü $x < -2$) → Bu aralıkta türev negatif.
- $x > 2$ için: $2x > 0$ → $x > 0$ → $x > 2$ için türev pozitif.
- $-2 < x < 2$ için: $-2x > 0$ → $x < 0$ → $-2 < x < 0$ için türev pozitif.
$g'(x)$ işaretini kontrol edersek: $x < -2$'de $2x$ negatif, $-2 < x < 0$'da $-2x$ pozitif, $0 < x < 2$'de $-2x$ negatif, $x > 2$'de $2x$ pozitif. Ayrıca $x = -2$ ve $x=2$'de fonksiyon süreksiz değildir ama türev yoktur; bu noktalarda artanlık değişebilir. Artan olduğu aralıklar $(-2, 0)$ ve $(2, \infty)$'dir. En geniş aralık birleşimi $(-\infty, 0)$ değildir çünkü $x < -2$ azalan. Doğru aralık $(-2, 0)$ ve $(2, \infty)$, yani şık B'deki gibi, ama soru en geniş aralık diyor, bu ikisinin birleşimi. Şıklarda $(-2, 0)$ ve $(2, \infty)$ var (B), ama analizimize göre $x < -2$ artan değil. Alternatif olarak, mutlak değer fonksiyonu düşünüldüğünde, $g(x)$ $(-2,0)$'da artan, $(0,2)$'de azalan, $(2,\infty)$'da artandır. En geniş aralık olarak bunlar birleştirilemez çünkü süreksiz değil ama $0$'da azalmaya başlar. Şıklarda en geniş olarak $(-\infty, 0)$ ve $(2, \infty)$ (C) verilmiş, bu $(-2,0)$ ve $(2,\infty)$'nın bir üst kümesi ve yanlış çünkü $(-\infty, -2)$ artan değil. Dikkatli incelersek: $x < -2$'de $g(x)=x^2-4$, türevi $2x$, $x < -2$ için negatif yani azalan. $x=-2$'den $x=0$'a kadar artan, $x=0$'dan $x=2$'ye azalan, $x>2$'de artan. Dolayısıyla artan olduğu aralıklar $(-2,0)$ ve $(2,\infty)$. Bunların birleşimi en geniştir ama şıklarda direkt bu birleşim yok. Şık B $(-2,0)$ ve $(2,\infty)$'yı ayrı ayrı veriyor, bu iki aralığın birleşimi en geniş aralık değildir çünkü aralıklar ayrık. Soru 'en geniş aralık' dediği için, bu iki aralık birleştirilemez, çünkü $0$ ile $2$ arasında azalan. O halde şık B doğru cevap olur. Ama soruyu ve şıkları gözden geçirelim: Şık C $(-\infty, 0)$ ve $(2, \infty)$ – bu $(-\infty,0)$ içinde $x<-2$ kısmı azalan olduğu için yanlış. Şık A $(-\infty, -2)$ ve $(0, 2)$ – $(-\infty,-2)$ azalan, $(0,2)$ azalan, yanlış. Şık D $(-2,2)$ – bu aralıkta sadece $(-2,0)$ artan, kalanı değil, yanlış. Şık E $(-\infty, -2)$ ve $(2, \infty)$ – $(-\infty,-2)$ azalan, yanlış. O halde şık B doğru olmalı, çünkü $(-2,0)$ ve $(2,\infty)$ aralıklarında artandır ve bunlar en geniş ayrık aralıklardır. Ama soru metninde 'en geniş aralık' deniyor, bu biraz belirsiz; genellikle artan olduğu tüm aralıkların birleşimi kastedilir, ki bu durumda $(-2,0) \cup (2,\infty)$ olur. Şıklarda bu direkt verilmemiş, ama şık B bunu ayrı ayrı gösteriyor. Bu nedenle doğru cevap B olarak alınabilir. Fakat önceki analizimde C'yi işaretlemiştim, düzeltmem gerekiyor. Hesaplamaları tekrar kontrol edelim: $g(x)=|x^2-4|$, $x^2-4$'ün kökleri $x=\pm 2$. $x<-2$ veya $x>2$ için $g(x)=x^2-4$, türev $2x$: $x<-2$ için negatif (azalan), $x>2$ için pozitif (artan). $-2
