İçeriğe geç
OptikOptik.
YKS · Matematik

Türev Alma Kuralları Soru Çözümü

Türev Alma Kuralları, YKS Matematik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$y=f(x)$ fonksiyonunun türevinin işaret tablosu aşağıda verilmiştir. Buna göre $f$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili hangi ifade kesinlikle yanlıştır?

$$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 1) & 1 & (1, \infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \text{tanımsız} & - \end{array}$$

  1. A

    $x=-2$ noktasında yerel maksimum vardır

  2. B

    $x=1$ noktasında türev yoktur

  3. $f$ fonksiyonu $x=1$'de süreklidir

    Doğru cevap
  4. D

    $f$ fonksiyonu $(1, \infty)$ aralığında azalandır

  5. E

    $f$ fonksiyonu $(-\infty, -2)$ aralığında artandır

Çözüm

Türev işaret tablosunu analiz edelim:

  • $x=-2$'de türev 0 ve işaret +'dan -'ye değişiyor: yerel maksimum (A doğru)
  • $x=1$'de türev tanımsız: türev yok (B doğru)
  • $(-\infty, -2)$'de $f'(x) > 0$: artan (E doğru)
  • $(1, \infty)$'de $f'(x) < 0$: azalan (D doğru)

$x=1$'de türev olmaması, fonksiyonun süreksiz olduğu anlamına gelmez. Örneğin, $|x-1|$ fonksiyonu $x=1$'de sürekli ama türevi yoktur. Tablo bize süreklilik hakkında bilgi vermez, bu nedenle C ifadesi kesinlikle yanlıştır.

Soru 2

Aşağıdaki ifadelerden hangisi süreklilik ve türevlenebilirlik ilişkisi için doğrudur?

  1. A

    Bir fonksiyon bir noktada sürekli ise, o noktada türevlenebilirdir.

  2. Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilir ise, o noktada süreklidir.

    Doğru cevap
  3. C

    Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse, türevlenebilir olabilir.

  4. D

    Süreklilik ve türevlenebilirlik her zaman eşdeğerdir.

  5. E

    Bir fonksiyonun türevi bir noktada varsa, soldan ve sağdan türevleri farklı olabilir.

Çözüm

Türevlenebilirlik, sürekliliği gerektirir. Eğer bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, o noktada süreklidir. Bu, türevin tanımından kaynaklanan temel bir teoremdir. Diğer seçenekleri inceleyelim: A yanlıştır, çünkü örneğin $f(x) = |x|$ fonksiyonu $x=0$ noktasında süreklidir ama türevlenebilir değildir. C yanlıştır, çünkü bir fonksiyon sürekli değilse türevlenebilir olamaz. D yanlıştır, çünkü süreklilik türevlenebilirlik için yeterli değildir. E yanlıştır, çünkü türev varsa soldan ve sağdan türevler eşit olmalıdır.

Soru 3

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x < 2 \\ 4x - 4 & \text{if } x \geq 2 \end{cases}$ fonksiyonu $x=2$ noktasında türevlenebilir mi? Sağ ve sol türev kavramlarını kullanarak değerlendirin.

  1. Türev vardır ve $4$'tür.

    Doğru cevap
  2. B

    Türev vardır ve $0$'dır.

  3. C

    Türev yoktur çünkü sağ türev $4$, sol türev $4$'tür.

  4. D

    Türev yoktur çünkü fonksiyon $x=2$'de süreksizdir.

  5. E

    Türev vardır ama farklı bir değerdir.

Çözüm

Önce $x=2$'de sağ ve sol türevleri hesaplayalım. Fonksiyon $x=2$'de $f(2)=4(2)-4=4$ olur.

Sol türev: $h \to 0^-$ için, $$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4+4h+h^2-4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{4h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (4+h) = 4$$

Sağ türev: $h \to 0^+$ için, $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4(2+h)-4 - 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{8+4h-8}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4h}{h} = 4$$

Sağ ve sol türevler eşit olduğu için $f$, $x=2$'de türevlenebilir ve türev değeri $4$'tür. Ayrıca fonksiyon bu noktada süreklidir (limit ve fonksiyon değeri eşit), bu da türev için gerekli bir koşuldur.

Türev Alma Kuralları konusunu uygulamada çöz

Optik'te YKS Matematik dersinde türev alma kuralları konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Matematik — diğer konular

Tümünü gör