Analitik Geometri: Çember Soru Çözümü

Çember denklemini tam kareye tamamlayalım: $$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 4 + 1 + 4 \Rightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 = 9.$$ Merkez $(1,-2)$ ve yarıçap $r=3$'tür. Doğrunun merkeze uzaklığı: $$d = \frac{|2\cdot1 + 1\cdot(-2) - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 2 - 5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.$$ Kiriş uzunluğu: $$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{9 - (\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{9 - 5} = 2\sqrt{4} = 4.$$

Verilen çemberin merkezi $M(2,-3)$ ve yarıçapı $r=\sqrt{10}$'dur. Çember üzerindeki bir $(x_0, y_0)$ noktasındaki teğet denklemi formülü: $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$, burada $(a,b)$ merkezdir. $a=2$, $b=-3$, $x_0=1$, $y_0=0$, $r^2=10$. Yerine koyarsak: $(1-2)(x-2) + (0+3)(y+3) = 10$ $\Rightarrow$ $(-1)(x-2) + 3(y+3) = 10$ $\Rightarrow$ $-x+2 + 3y+9 = 10$ $\Rightarrow$ $-x + 3y +11 = 10$ $\Rightarrow$ $-x + 3y = -1$ $\Rightarrow$ $x - 3y = 1$.

Genel denklem $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ şeklindedir. Burada $D=2$, $E=-4$, $F=-4$. Merkez $M\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) = \left(-1, 2\right)$. Yarıçap $r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$. Orijin noktası $(0,0)$ denklemde yerine konulursa: $0^2 + 0^2 + 2\cdot0 - 4\cdot0 - 4 = -4 \neq 0$, dolayısıyla çember orijinden geçmez. Buna göre doğru ifade B seçeneğidir.