Parabol Soru Çözümü

En küçük değer tepe noktasında alınır. Tepe noktasının $x$ koordinatı: $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ O halde, en küçük değer $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + k = 4 - 8 + k = k - 4$. Bu değer $2$'ye eşit olduğuna göre: $$k - 4 = 2 \Rightarrow k = 6$$

$f(x) = |x^2 - 4|$ fonksiyonu için:

• $f(0) = |0 - 4| = 4 \neq 0$, dolayısıyla orijinden geçmez (A yanlış).
• $|x^2 - 4| = 0$ denklemini çözersek $x^2 - 4 = 0$ yani $x = \pm 2$, bu nedenle $x$ eksenini iki noktada keser, üç değil (B yanlış).
• $f(-x) = |(-x)^2 - 4| = |x^2 - 4| = f(x)$, çift fonksiyon olduğu için $y$ eksenine göre simetriktir (C doğru).
• Fonksiyon, örneğin $x=0$ dan $x=2$ ye azalır, sonra artar, dolayısıyla daima artan değildir (D yanlış).
• Mutlak değer içindeki $x^2 - 4$ parabolünün tepe noktası $(0, -4)$ tür, ancak mutlak değer alındığında negatif değerler pozitife çevrilir, bu nedenle grafiğin tepe noktası $(0, 4)$ olur (E yanlış).

Maksimum alanı bulmak için parabol denklemini oluşturup tepe noktasını hesaplamalıyız. Nehire paralel kenar uzunluğu $x$, diğer kenar $y$ olsun. Çevre: $x + 2y = 100$, buradan $y = \frac{100 - x}{2}$. Alan: $A = x \cdot y = x \cdot \frac{100 - x}{2} = \frac{100x - x^2}{2}$. Bu, $A = -\frac{1}{2}x^2 + 50x$ şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyondur. Tepe noktasının x-koordinatı: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 50$. O zaman $y = \frac{100-50}{2} = 25$ ve maksimum alan $A = 50 \cdot 25 = 1250$ metrekaredir.