İkinci Dereceden Denklemler Soru Çözümü

Mutlak değer denklemi $|x^2 - 2x| = 3 - x$ için önce $3 - x \ge 0$ olmalıdır, çünkü mutlak değer her zaman negatif değildir. Buradan $x \le 3$ bulunur.

Sonra iki durum değerlendirilir:

• $x^2 - 2x = 3 - x \Rightarrow x^2 - x - 3 = 0$. Diskriminant: $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$, kökler $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Her iki kök de $x \le 3$ koşulunu sağlar çünkü $\frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2.3$ ve $\frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx -1.3$.
• $x^2 - 2x = -(3 - x) = x - 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 3 = 0$. Diskriminant: $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0$, reel kök yok.

Dolayısıyla, çözüm kümesi $\{ \frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \}$'dir.

Köklerin aritmetik ortalaması: $$\frac{a+b}{2} = 6 \implies a+b = 12$$ Ayrıca $a-b=8$ verilmiş. Bu iki denklemi çözerek kökleri bulabiliriz: $$a+b=12 \quad \text{ve} \quad a-b=8$$ İki denklemi toplayarak: $2a=20 \implies a=10$. Çıkararak veya yerine koyarak: $b=2$. Kökler toplamı formülü: $a+b = -p$, bu nedenle $$12 = -p \implies p = -12$$ Doğru cevap $p=-12$'dir.

Değişken değiştirme yapalım: $x^2 - 2x = t$ diyelim. Denklem $t^2 - 3t - 4 = 0$ haline gelir. Bu denklemi çözelim:

$$t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$

Buradan $t_1 = 4$ ve $t_2 = -1$ bulunur. Şimdi $x^2 - 2x = t$ denklemlerini çözelim:

1) $x^2 - 2x = 4 \Rightarrow x^2 - 2x - 4 = 0$. Bu denklemin diskriminantı $\Delta = 4+16=20>0$ olduğundan iki farklı gerçek kök vardır. Kökler toplamı $x_1 + x_2 = 2$ (kökler toplamı formülünden).

2) $x^2 - 2x = -1 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$. Bu denklem $(x-1)^2=0$ şeklinde yazılır, çift kök $x=1$ dir.

Tüm gerçek kökler: İlk denklemden iki kök (toplamları 2) ve ikinci denklemden bir kök (1). Bu köklerin toplamı: $2 + 1 = 3$ olur.