Diziler Soru Çözümü

Aritmetik dizide $a_n = a_1 + (n-1)d$ formülünü kullanalım. $a_3 = a_1 + 2d$, $a_9 = a_1 + 8d$, so $a_3 + a_9 = 2a_1 + 10d = 24$, yani $a_1 + 5d = 12$ (1). Ayrıca $a_5 = a_1 + 4d$, $a_7 = a_1 + 6d$, so $a_5 \cdot a_7 = (a_1+4d)(a_1+6d)=143$ (2). (1) denkleminden $a_1 = 12 - 5d$'yi (2) denkleminde yerine koyalım: $$(12-5d+4d)(12-5d+6d) = (12-d)(12+d) = 144 - d^2 = 143$$ $$d^2 = 1$$ $$d = \pm 1$$. Soruda pozitif değer istendiği için $d=1$'dir.

Geometrik dizi özelliğinden $b^2 = a \cdot c$'dir. Ayrıca $a+b+c=21$ olduğundan $a+c = 21-b$. $a$ ve $c$, toplamları $21-b$, çarpımları $b^2$ olan pozitif tam sayılardır ve $a < b < c$ koşulunu sağlamalıdır. Şıkları kontrol edelim:

• $b=6$: $a \cdot c = 36$, $a+c=15$. $a=3$, $c=12$ için $3<6<12$ ve $3 \cdot 12=36$, uygun.
• $b=7$: $a \cdot c = 49$, $a+c=14$. $a=7$, $c=7$ olabilir ama $a < b < c$ sağlanmaz.
• $b=8$: $a \cdot c = 64$, $a+c=13$. Tam sayı çözüm yok.
• $b=9$: $a \cdot c = 81$, $a+c=12$. Tam sayı çözüm yok.
• $b=10$: $a \cdot c = 100$, $a+c=11$. Tam sayı çözüm yok.

O halde $b=6$'dır.

Aritmetik dizinin toplam formülü: $$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$$

Burada $a_1 = 200$ ve $d = 50$ olduğundan,

$$S_n = \frac{n}{2} [2 \cdot 200 + (n-1) \cdot 50] = \frac{n}{2} [400 + 50n - 50] = \frac{n}{2} (50n + 350)$$

Sadeleştirirsek: $$S_n = \frac{n}{2} \cdot 50(n + 7) = 25n(n+7)$$

Diğer şıklar: B genel terim formülüdür; C, $400 + 50n$ ifadesi hatalıdır çünkü $(n-1)$ yerine $n$ kullanılmıştır; D ve E ise yanlış hesaplanmış formüllerdir. Doğru cevap A şıkkıdır.