Binom Açılımı Soru Çözümü

Binom açılımında genel terim $T_{k+1} = C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k$ formülüyle bulunur. Burada $a=1$, $b=2x$, $n=10$. Katsayı $C(10,k) \cdot 2^k$ olur. En büyük katsayı için $\frac{C(10,k) \cdot 2^k}{C(10,k-1) \cdot 2^{k-1}} = \frac{2 \cdot (10-k+1)}{k} \geq 1$ koşulunu çözmeliyiz. Bu oranın 1'den büyük olduğu durumda katsayı artar, küçük olduğunda azalır. Hesaplarsak: $\frac{2(11-k)}{k} \geq 1 \Rightarrow 22 - 2k \geq k \Rightarrow 22 \geq 3k \Rightarrow k \leq 7.33$. Yani $k \leq 7$ için katsayı artar, $k \geq 8$ için azalır. Bu nedenle maksimum katsayı $k=7$ veya $k=8$ için olabilir. Değerleri hesaplayalım: $k=7$ için katsayı $C(10,7) \cdot 2^7 = 120 \cdot 128 = 15360$, $k=8$ için $C(10,8) \cdot 2^8 = 45 \cdot 256 = 11520$. Dolayısıyla en büyük katsayı $k=7$ yani $T_8$ terimindedir ($T_{k+1}$ olduğundan $k=7$ ise $T_8$). Doğru cevap: $T_8 = C(10,7) \cdot 2^7 \cdot x^7$.

Binom açılımını kullanarak $3^{50} = (2+1)^{50}$ şeklinde yazabiliriz. Binom açılımı: $$\sum_{k=0}^{50} \binom{50}{k} \cdot 2^k \cdot 1^{50-k}$$ Mod 8'de, $2^3=8 \equiv 0 \mod 8$ olduğundan, $k \geq 3$ için $2^k$ terimleri 8'e bölünür. Bu nedenle sadece $k=0$, $k=1$ ve $k=2$ terimlerini düşünmeliyiz.

$k=0$: $\binom{50}{0} \cdot 2^0 = 1$

$k=1$: $\binom{50}{1} \cdot 2^1 = 50 \cdot 2 = 100$, mod 8'de $100 \equiv 4 \mod 8$ (çünkü $8 \times 12 = 96$, $100 - 96 = 4$)

$k=2$: $\binom{50}{2} \cdot 2^2 = 1225 \cdot 4 = 4900$, mod 8'de $4900 \equiv 4 \mod 8$ (çünkü $8 \times 612 = 4896$, $4900 - 4896 = 4$)

Toplam: $1 + 4 + 4 = 9$, ve $9 \mod 8 = 1$. Dolayısıyla kalan 1 dir.

Değişkenler $x$ ve $y$ yerine 1 yazılırsa, $x=1$ ve $y=1$ için $(1^2 - 4(1))^5 = (1-4)^5 = (-3)^5 = -243$.