Belirsiz İntegral Soru Çözümü

Öncelikle paydayı çarpanlarına ayıralım: $x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$. Kısmi kesirlere ayırma yöntemi kullanılır:

$$\frac{3x+2}{x^2+2x-3} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}$$

Eşitliğin her iki tarafı $(x+3)(x-1)$ ile çarpılırsa:

$$3x+2 = A(x-1) + B(x+3)$$

$x=1$ için: $3(1)+2 = A(0) + B(4) \Rightarrow 5 = 4B \Rightarrow B = \frac{5}{4}$

$x=-3$ için: $3(-3)+2 = A(-4) + B(0) \Rightarrow -7 = -4A \Rightarrow A = \frac{7}{4}$

O halde integral:

$$\int \left( \frac{7/4}{x+3} + \frac{5/4}{x-1} \right) dx = \frac{7}{4} \ln |x+3| + \frac{5}{4} \ln |x-1| + C$$

Payı paydaya bölelim (parçalayarak):

$$\frac{x^2 + 2x + 2}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{2x}{x} + \frac{2}{x} = x + 2 + \frac{2}{x}$$

İntegrali alalım:

$$\int (x + 2 + \frac{2}{x}) \, dx = \int x \, dx + \int 2 \, dx + \int \frac{2}{x} \, dx$$

$$= \frac{x^2}{2} + 2x + 2\ln|x| + C$$

Doğru cevap A şıkkıdır. Diğer şıklarda katsayı hataları veya integral sabiti unutulmuştur.

$u = 3x+7$ diyelim. $du = 3 \, dx$, so $dx = \frac{du}{3}$. Integral: $$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{3} \ln |u| + C = \frac{1}{3} \ln |3x+7| + C$$