Katı Cisimler (Uzay Geometri) Soru Çözümü

Hacim korunumu uygulanır. Kürenin hacmi: $$V_k = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \text{ cm}^3$$. Koninin hacmi: $$V_c = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$, ve $h = r$ olduğundan, $$V_c = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{1}{3}\pi r^3$$. Eşitlik: $$288\pi = \frac{1}{3}\pi r^3 \Rightarrow 288 = \frac{1}{3} r^3 \Rightarrow r^3 = 864 \Rightarrow r = \sqrt[3]{864} = \sqrt[3]{216 \cdot 4} = 6\sqrt[3]{4} \text{ cm}$$.

Düzgün dörtyüzlünün hacim formülü: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$

$V = 18\sqrt{2}$ cm³ için: $\frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = 18\sqrt{2} \Rightarrow a^3 = 18\sqrt{2} \times \frac{12}{\sqrt{2}} = 18 \times 12 = 216 \Rightarrow a = 6$ cm

Yükseklik: $h = \sqrt{\frac{2}{3}} a = \sqrt{\frac{2}{3}} \times 6 = 2\sqrt{6}$ cm

Doğru cevap A şıkkıdır.

Kürenin hacim formülü: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.

Verilen: $V = 288\pi$ cm³.

Denklemi çözelim: $$\frac{4}{3} \pi r^3 = 288\pi$$

$\pi$'leri sadeleştirelim: $$\frac{4}{3} r^3 = 288$$

Her iki tarafı $\frac{3}{4}$ ile çarpalım: $$r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$$

Küp kökünü alalım: $r = \sqrt[3]{216} = 6$ cm.

Doğru cevap $6$ cm'dir.