Üçgenler Soru Çözümü

Üçgen eşitsizliğini kullanarak, herhangi bir iç $P$ noktası için $PA + PB + PC > \frac{AB+BC+AC}{2}$ olduğunu biliyoruz.

Kenar uzunlukları: $AB=5$ cm, $AC=5$ cm, $BC=8$ cm. Çevre: $5+5+8=18$ cm, yarı çevre: $\frac{18}{2}=9$ cm.

Bu nedenle, $PA + PB + PC > 9$ cm. En küçük tam sayı değeri $10$ cm'dir.

Doğru cevap: $10$ cm, yani B şıkkı.

Kenar uzunlukları asal sayı olduğundan, olası değerler $2, 3, 5, 7, 11, ...$'dir. Çevre $17$ cm olduğuna göre, kenarların toplamı $17$ olmalıdır. Üçgen eşitsizliğini de sağlayan asal sayı üçlüleri araştırıldığında, $(3,7,7)$ ve $(5,5,7)$ kombinasyonları bulunur. Her iki durumda da en uzun kenar $7$ cm'dir. Örneğin, $(3,7,7)$ için $7 < 3+7=10$ üçgen eşitsizliği sağlanır ve çevre $3+7+7=17$ cm'dir. Diğer kombinasyonlar, örneğin $(2,7,8)$ veya $(5,6,6)$ asal sayı koşulunu sağlamaz. Bu nedenle, en uzun kenarın alabileceği en büyük tam sayı değeri $7$'dir.

D noktası açıortay üzerinde olduğu için $|DE|=|DF|=4$ cm'dir. ABD üçgeninin alanı: $$\frac{1}{2} \times |AB| \times |DE| = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20 \text{ cm².}$$ ACD üçgeninin alanı: $$\frac{1}{2} \times |AC| \times |DF| = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ cm².}$$ ABC üçgeninin alanı bu iki alanın toplamıdır: $$20 + 16 = 36 \text{ cm².}$$ Alternatif olarak: Alan = $\frac{1}{2} \times |DE| \times (|AB|+|AC|) = \frac{1}{2} \times 4 \times 18 = 36$ cm².