Kareköklü Sayılarla İşlemler Soru Çözümü

Örüntüde her terim, $\sqrt{2k^2}$ formundaki sayıların toplamıdır. $\sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$ olduğundan, $b_n = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + \dots + n\sqrt{2} = \sqrt{2} (1 + 2 + 3 + \dots + n)$. Ardışık sayıların toplam formülü $\frac{n(n+1)}{2}$ kullanılırsa, $b_n = \sqrt{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$. $n=6$ için: $b_6 = \sqrt{2} \cdot \frac{6 \cdot 7}{2} = \sqrt{2} \cdot 21 = 21\sqrt{2}$. Doğru cevap $21\sqrt{2}$'dir.

Karenin alan formülü $A = a^2$ şeklindedir, burada $a$ kenar uzunluğudur. Verilen alan $32 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, kenar uzunluğu $a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \text{ cm}$ olarak bulunur. Karenin çevresi $C = 4a$ formülü ile hesaplanır, yani $C = 4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ cm}$ olur.

İlk kenarı sadeleştirelim: $$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$$ cm. İkinci kenar: $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$$ cm. Alan: $$3 \times 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$ cm$^2$.