Çarpanlar ve Katlar Soru Çözümü

Sayıyı $x$ ile gösterelim. Verilenlere göre, $48 = a \cdot x + 8$ ve $72 = b \cdot x + 8$ şeklinde yazılabilir. Buradan, $x$ sayısı, $48-8=40$ ve $72-8=64$ sayılarını tam böler. Dolayısıyla $x$, 40 ve 64'ün ortak bölenidir. En büyük $x$ değeri, bu iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) olacaktır. EBOB'u bulmak için asal çarpanlara ayıralım: $40 = 2^3 \cdot 5$ ve $64 = 2^6$. Ortak asal çarpan 2'dir, ve en küçük üssü $2^3 = 8$ dir. O halde, en büyük sayı 8'dir.

Parça uzunluğu, verilen uzunlukların en büyük ortak böleni (EBOB) olmalıdır. EBOB(120, 180) hesaplayalım:

$$120 = 2^3 \times 3 \times 5$$

$$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$$

Ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır: $2^2 \times 3 \times 5 = 60$. Yani parça uzunluğu 60 cm'dir.

Parça sayısı: $\frac{120}{60} + \frac{180}{60} = 2 + 3 = 5$.

Bu nedenle en az 5 parça elde edilir.

En küçük kareyi oluşturmak için fayansların kenar uzunluklarının EKOK'u bulunmalıdır. EKOK(24,36):

$$24 = 2^3 \times 3$$

$$36 = 2^2 \times 3^2$$

EKOK = $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$

Bu yüzden karenin kenar uzunluğu 72 cm olmalıdır.