İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · İstatistik

Sürekli Olasılık Dağılımları Soru Çözümü

Sürekli Olasılık Dağılımları, KPSS İstatistik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

Gamma dağılımı $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ ve Üstel dağılım $Y \sim \text{Exp}(\lambda)$ olarak parametrelendirilmiştir. Hangi koşul altında Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu, Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ile özdeş olur?

  1. $k = 1$ ve $\theta = \frac{1}{\lambda}$

    Doğru cevap
  2. B

    $k = \lambda$ ve $\theta = 1$

  3. C

    $k = 2$ ve $\theta = \lambda$

  4. D

    $k = 0.5$ ve $\theta = \frac{2}{\lambda}$

  5. E

    Hiçbiri

Çözüm

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu: $$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1} e^{-x/\theta}, \quad x > 0.$$ Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu: $$f_Y(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0.$$ Eğer $k=1$ ise, $\Gamma(1)=1$ olduğundan, $f_X(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$. Bu ifadenin $f_Y(x)$ ile aynı olması için $\frac{1}{\theta} = \lambda$ olmalı, yani $\theta = \frac{1}{\lambda}$. Dolayısıyla, $k=1$ ve $\theta = \frac{1}{\lambda}$ iken Gamma dağılımı Üstel dağılıma indirgenir.

Soru 2

$X$ sürekli bir rastgele değişken olup, birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) $F(x) = 1 - e^{-3x}$ for $x \geq 0$ ve $F(x) = 0$ for $x < 0$ şeklinde verilmiştir. Bu dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) $f(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $f(x) = 3e^{-3x}$ for $x \geq 0$, diğer durumlarda $0$

    Doğru cevap
  2. B

    $f(x) = e^{-3x}$ for $x \geq 0$, diğer durumlarda $0$

  3. C

    $f(x) = 1 - e^{-3x}$ for $x \geq 0$, diğer durumlarda $0$

  4. D

    $f(x) = 3$ for $x \geq 0$, diğer durumlarda $0$

  5. E

    $f(x) = -3e^{-3x}$ for $x \geq 0$, diğer durumlarda $0$

Çözüm

PDF, CDF'nin türevi alınarak bulunur: $$f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$$ Verilen CDF için:

  • $x < 0$: $F(x) = 0 \Rightarrow f(x) = 0$
  • $x \geq 0$: $F(x) = 1 - e^{-3x}$, türev alındığında: $$f(x) = \frac{d}{dx} (1 - e^{-3x}) = 0 - (-3)e^{-3x} = 3e^{-3x}$$ Zincir kuralı kullanılarak: $\frac{d}{dx} e^{-3x} = -3e^{-3x}$.

Bu nedenle PDF: $f(x) = 3e^{-3x}$ for $x \geq 0$, diğer durumlarda $0$. Bu, üstel dağılımın PDF'sidir ($\lambda = 3$).

Soru 3

$X$ ve $Y$ rassal değişkenleri, ortak normal dağılıma sahip olup ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

$$ f(x,y) = \frac{1}{2\pi \sqrt{3}} \exp\left(-\frac{x^2 - xy + y^2}{3}\right) \quad \text{for} \quad x,y \in \mathbb{R} $$

Buna göre, $X$'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_X(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $\frac{1}{\sqrt{4\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{4}\right)$ for $x \in \mathbb{R}$

    Doğru cevap
  2. B

    $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)$ for $x \in \mathbb{R}$

  3. C

    $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-x^2\right)$ for $x \in \mathbb{R}$

  4. D

    Üstel dağılım with $\lambda=1$

  5. E

    Uniform dağılım on $(0,1)$

Çözüm

Ortak normal dağılımda, marjinal dağılımlar normaldir. Verilen yoğunluk, kovaryans matrisi $\Sigma = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ olan bir normal dağılıma karşılık gelir. $X$'in marjinal dağılımı $N(0,2)$'dir, yani ortalama 0, varyans 2. Normal dağılım yoğunluk fonksiyonu: $$ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) $$ $\sigma^2=2$ için: $$ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{4}\right) $$

Sürekli Olasılık Dağılımları konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS İstatistik dersinde sürekli olasılık dağılımları konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

İstatistik — diğer konular

Tümünü gör