Çok Değişkenli Dağılımlar Soru Çözümü

Verilen $M(t_1, t_2)$ çarpım şeklinde olduğu için $X$ ve $Y$ bağımsızdır ve $M(t_1, t_2) = M_X(t_1) M_Y(t_2)$, burada $M_X(t_1) = (1 - t_1)^{-2}$ ve $M_Y(t_2) = (1 - 2t_2)^{-3}$. Bağımsızlık nedeniyle $E[XY] = E[X]E[Y]$.
$E[X] = M_X'(0)$: $$M_X'(t_1) = 2 (1 - t_1)^{-3}, \quad \text{so } E[X] = 2(1)^{-3} = 2.$$
$E[Y] = M_Y'(0)$: $$M_Y'(t_2) = 6 (1 - 2t_2)^{-4}, \quad \text{so } E[Y] = 6(1)^{-4} = 6.$$
Buradan $E[XY] = 2 \times 6 = 12$.
Alternatif olarak, doğrudan karışık türev alarak da hesaplanabilir: $$\frac{\partial^2 M}{\partial t_1 \partial t_2} = \frac{\partial}{\partial t_1} \frac{\partial}{\partial t_2} \left( (1-t_1)^{-2} (1-2t_2)^{-3} \right) = \left( 2(1-t_1)^{-3} \right) \left( 6(1-2t_2)^{-4} \right).$$ $t_1=0, t_2=0$ için bu $2 \times 6 = 12$.

Önce $k$ sabitini bulmak için toplam olasılık 1 olmalıdır:

$$\sum_{x=1}^{3} \sum_{y=1}^{2} k(x+y) = 1$$

Hesaplama: $k[(1+1)+(1+2)+(2+1)+(2+2)+(3+1)+(3+2)] = k[2+3+3+4+4+5] = 21k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{21}$.

$X$'in marjinal olasılık fonksiyonu: $P(X=x) = \sum_{y} P(X=x, Y=y)$.

• $P(X=1) = k(1+1) + k(1+2) = \frac{1}{21}(2+3) = \frac{5}{21}$
• $P(X=2) = k(2+1) + k(2+2) = \frac{1}{21}(3+4) = \frac{7}{21}$
• $P(X=3) = k(3+1) + k(3+2) = \frac{1}{21}(4+5) = \frac{9}{21}$

Doğru cevap A seçeneğidir.

Kovaryans formülü: $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$.

Önce marjinal dağılımları hesaplayalım:

• $P(X=0) = 0.1+0.2+0.1=0.4$, $P(X=1)=0.1+0.2+0.3=0.6$
• $P(Y=0)=0.1+0.1=0.2$, $P(Y=1)=0.2+0.2=0.4$, $P(Y=2)=0.1+0.3=0.4$

Beklentiler: $E(X)=0 \times 0.4 + 1 \times 0.6 = 0.6$, $E(Y)=0 \times 0.2 + 1 \times 0.4 + 2 \times 0.4 = 1.2$.

$E(XY) = \sum x y P(X=x,Y=y) = (0\times0)\times0.1 + (0\times1)\times0.2 + (0\times2)\times0.1 + (1\times0)\times0.1 + (1\times1)\times0.2 + (1\times2)\times0.3 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0.2 + 0.6 = 0.8$.

Bu durumda $\text{Cov}(X,Y)=0.8 - 0.6 \times 1.2 = 0.8 - 0.72 = 0.08$.