Özel Örnekleme Yöntemleri Soru Çözümü

Tabakalı örneklemede, tahmin edicinin varyansı tabaka içi varyanslara bağlıdır. Tabakalar arası heterojenlik yüksek olduğunda, tabakalar iyi tanımlanmış demektir ve tabaka içi homojenlik yüksek olduğunda, her tabakadan alınan örneklem daha temsili olur. Bu durum, toplam varyansı azaltır, çünkü tabakalı örnekleme bu koşullarda en verimli şekilde çalışır. Matematiksel olarak, ortalama tahmin edicisinin varyansı $V(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^{H} \left( \frac{N_h}{N} \right)^2 \left( \frac{N_h - n_h}{N_h - 1} \right) \frac{S_h^2}{n_h}$ formülüyle hesaplanır ve tabaka içi varyanslar $S_h^2$ düşükse varyans da düşük olur.

Periyodik yapı, popülasyonda belirli aralıklarla tekrarlayan bir desen olduğunda, sistematik örnekleme ile seçilen birimlerin bu deseni yakalama riski vardır. Örneğin, eğer örnekleme aralığı $k$ periyotla çakışırsa, örneklem popülasyonun sadece belirli bir kısmını temsil eder. Bu, tahmin edicilerin (örneğin örneklem ortalaması) popülasyon parametresinden sapmasına neden olarak yanlılığa yol açar. Diğer seçenekler yanlıştır: Periyodik yapı varyansı mutlaka artırmaz (A ve C), rastgele başlangıç periyodik yapıyı ortadan kaldırmaz (D), ve periyodik yapı sistematik örneklemeyi doğrudan etkiler (E).

Küme örneklemesinde varyans, küme içi homojenlik ve küme ortalamaları arasındaki farklılıklara bağlıdır. Varyans formülü yaklaşık olarak: $$\sigma_{\text{cluster}}^2 \approx \frac{S_b^2}{m}$$ Burada, $m = 2$ seçilen küme sayısıdır. $S_b^2 = 64$ olduğundan, $\sigma_{\text{cluster}}^2 \approx 64 / 2 = 32$. Basit rastgele örnekleme varyansı 20 olduğu için, $32 > 20$ yani $\sigma_{\text{cluster}}^2 > \sigma_{\text{SRS}}^2$ doğrudur. Küme içi varyans düşük ($S_w^2 = 16$) olsa da, küme ortalamaları arasında yüksek fark ($S_b^2 = 64$) olduğundan küme örneklemesi daha yüksek varyansa yol açar. Bu, küme örneklemesinin genellikle küme içi homojen ve kümeler arası heterojen olduğunda verimsiz olmasını yansıtır.