İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · İstatistik

Nokta Tahmini Soru Çözümü

Nokta Tahmini, KPSS İstatistik hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$X_1, \ldots, X_n$ üstel dağılımdan bağımsız gözlemler olsun, yoğunluk fonksiyonu $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ for $x > 0$. $\lambda$ parametresi için momentler yöntemi tahmin edicisi $\hat{\lambda} = 1/\bar{X}$'in yanlılığını, yani $\text{Bias}(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda$'yı bulunuz.

  1. A

    $0$ (yansızdır)

  2. B

    $\frac{\lambda}{n}$

  3. $\frac{\lambda}{n-1}$

    Doğru cevap
  4. D

    $-\frac{\lambda}{n}$

  5. E

    $-\frac{\lambda}{n-1}$

Çözüm

Üstel dağılımda, $E[X_i] = 1/\lambda$, dolayısıyla momentler yöntemi ile $\lambda$ tahmin edicisi $\hat{\lambda} = 1/\bar{X}$. $\bar{X}$'in dağılımı Gamma(n, n$\lambda$) olduğundan, $E[1/\bar{X}] = \frac{n\lambda}{n-1}$ for $n > 1$. Böylece, $$\text{Bias}(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda = \frac{n\lambda}{n-1} - \lambda = \frac{\lambda}{n-1}.$$ Bu, $\hat{\lambda}$'nin gerçek $\lambda$ değerini fazla tahmin ettiğini gösterir. Ayrıca, $n \to \infty$ iken yanlılık sıfıra yaklaşır, bu da tutarlılık için bir işarettir.

Soru 2

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) gözlemler olsun ve $X_i \sim \text{Poisson}(\lambda)$ dağılımından gelsin. Momentler yöntemini kullanarak $\lambda$ parametresinin tahmin edicisi nedir?

  1. Örneklem ortalaması $\bar{X}$

    Doğru cevap
  2. B

    Örneklem varyansı $S^2$

  3. C

    Örneklem medyanı

  4. D

    $\lambda = 1$

  5. E

    $\lambda = \bar{X}^2$

Çözüm

Poisson dağılımında beklenen değer $E(X) = \lambda$'dır. Momentler yönteminde, birinci moment (beklenen değer) örneklem birinci momentine eşitlenir:

$$E(X) = \bar{X} \implies \lambda = \bar{X}$$

Bu nedenle, $\lambda$ için momentler yöntemi tahmin edicisi örneklem ortalaması $\bar{X}$'dir.

Soru 3

En çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) ve momentler yöntemi tahmin edicileri için, büyük sayılar yasası kullanılarak tutarlılık gösterimi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A

    MLE her zaman tutarlıdır, momentler yöntemi her zaman değildir.

  2. B

    Momentler yöntemi her zaman tutarlıdır, MLE her zaman değildir.

  3. Büyük sayılar yasası, uygun koşullar altında, her iki yöntemle elde edilen tahmin edicilerin tutarlılığını göstermek için kullanılabilir.

    Doğru cevap
  4. D

    Sadece normal dağılımda her iki yöntem de tutarlı tahmin ediciler verir.

  5. E

    Büyük sayılar yasası sadece örneklem ortalaması için geçerlidir, diğer tahmin ediciler için değil.

Çözüm

MLE, düzenlilik koşulları altında tutarlıdır ve bu genellikle büyük sayılar yasası ve sürekli dönüşüm gibi argümanlarla gösterilir. Momentler yöntemi tahmin edicileri, örneklem momentlerinin popülasyon momentlerine yakınsamasından (büyük sayılar yasası) ve sürekli dönüşümden dolayı genellikle tutarlıdır. Bu nedenle, büyük sayılar yasası her iki durumda da temel bir araçtır. Diğer şıklar genel olarak yanlıştır çünkü tutarlılık belirli koşullara bağlıdır ve büyük sayılar yasası daha genel uygulamalara sahiptir.

Nokta Tahmini konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS İstatistik dersinde nokta tahmini konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

İstatistik — diğer konular

Tümünü gör