Basit Doğrusal Regresyon Soru Çözümü

Fahrenheit dönüşümü $F = aC + b$ şeklindedir, burada $a=1.8$ ve $b=32$. Doğrusal dönüşüm kurallarına göre:

$$\beta_1' = \frac{\beta_1}{a} = \frac{\beta_1}{1.8}$$

$$\beta_0' = \beta_0 - \frac{\beta_1 b}{a} = \beta_0 - \frac{32\beta_1}{1.8}$$

Bu, birim dönüşümünün eğimi ölçeklerken kesim noktasını da ayarladığını gösterir. Pratikte, eğim Celsius'taki değişim başına etkiyi temsil ederken, Fahrenheit'e geçildiğinde bu etki ölçeklenir.

Basit doğrusal regresyonda MSE, hata terimi varyansı $\sigma^2$'nin yansız tahmin edicisidir ve formülü $\text{MSE} = \frac{\sum e_i^2}{n-2}$'dir. Artıkların kareleri toplamı pozitif olduğundan ve payda pozitif olduğundan, MSE her zaman pozitiftir. Diğer şıklar hatalıdır: Şık A yanlıştır, çünkü MSE regresyon katsayılarının varyans tahmininde kullanılır (örneğin, $\hat{\beta}_1$'in varyansı $\frac{\text{MSE}}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$). Şık B yanlıştır, MSE arttıkça modelin hataları büyür, açıklayıcılık azalır. Şık C yanlıştır, MSE artıkların kareler ortalamasıdır, ortalamasının karesi değildir. Şık E yanlıştır, serbestlik derecesi $n-2$'dir, çünkü iki parametre ($\beta_0$ ve $\beta_1$) tahmin edilmiştir.

Orijinden geçen modelde $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}$. Eğer gerçek model $y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$ ise, $E[\hat{\beta}_1] = \beta_1 + \beta_0 \frac{\sum x_i}{\sum x_i^2}$. Bu nedenle, eğer $\beta_0 \neq 0$ ise $\hat{\beta}_1$ sapmalıdır. Sadece $\beta_0 = 0$ olduğunda sapmasızdır. Diğer seçenekler genel olarak doğru değildir.