Stokastik Süreçler Soru Çözümü

Bir durumun periyodu, o duruma dönüş sürelerinin en büyük ortak böleni (EBOB) olarak tanımlanır. Durum 1'e geçişleri inceleyelim:

• Durum 1'den kendine doğrudan geçiş yok ($P_{11}=0$).
• Durum 1 → Durum 2 → Durum 3 → Durum 1: Bu döngü 3 adım sürer.
• Durum 1 → Durum 3 → Durum 2 → Durum 1: Bu da 3 adım sürer.

Durum 1'e dönüşler sadece 3'ün katları şeklinde olabilir (örn. 3, 6, 9,...). Dolayısıyla dönüş süreleri kümesi $\{3, 6, 9, \dots\}$'dir. Bu kümenin EBOB'u $3$'tür. Bu nedenle durum 1'in periyodu $3$ olur.

Poisson sürecinde, olaylar arası zamanlar bağımsız ve aynı şekilde dağılmış üstel rasgele değişkenlerdir. İlk iki olayın gerçekleşme zamanları arasındaki fark, aslında ilk olaydan sonraki ikinci olayın zamanıdır, yani bir olaylar arası zaman $T$. $T$, oranı $\lambda$ olan üstel dağılıma uyar. Üstel dağılımın varyansı $Var(T) = \frac{1}{\lambda^2}$'dir. Burada $\lambda = 2$ olduğuna göre:

$$Var(T) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \text{ dakika}^2$$

Yani varyans $\frac{1}{4}$ dakika$^2$ olarak bulunur.

Doğum-Ölüm süreçlerinde, denge dağılımının var olması için, rekürans ilişkisi $\pi_n = \pi_0 \prod_{i=0}^{n-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}}$ ile verilen olasılıkların toplamının sonlu olması gerekir, yani $\sum_{n=0}^{\infty} \pi_n = \pi_0 \sum_{n=0}^{\infty} \prod_{i=0}^{n-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} < \infty$. Bu, $\sum_{n=0}^{\infty} \prod_{i=0}^{n-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} < \infty$ koşuluna eşdeğerdir. Diğer seçenekler: A ve B, oranların karşılaştırması yeterli değildir çünkü serinin yakınsaması önemlidir; D, özel bir durumdur ve genel bir gereklilik değildir; E, yanlıştır çünkü denge dağılımı her zaman var olmayabilir.