Yamuk Soru Çözümü

Yamuğun alanı formülü: Alan = (alt taban + üst taban) / 2 × yükseklik.

• Alt taban AB: A(0,0) ve B(6,0) noktaları arası uzunluk: $6 - 0 = 6$ birim.
• Üst taban DC: D(1,3) ve C(5,3) noktaları arası uzunluk: $5 - 1 = 4$ birim.
• Yükseklik: Tabanlar yatay olduğu için yükseklik, y koordinatları farkıdır: $3 - 0 = 3$ birim.
• Alan = $(6 + 4) / 2 \times 3 = 10 / 2 \times 3 = 5 \times 3 = 15$ birimkare.

Doğru cevap $15$'tir.

Koordinat düzleminde yerleştirerek çözebiliriz. $M$ noktasını $(0,0)$'a, $A$ noktasını $(-5,0)$'a, $B$ noktasını $(5,0)$'a yerleştirelim. $N$ noktası $(0,-h)$ olsun. $CD = 6$ cm olduğundan, $D$ noktası $(-3,-h)$, $C$ noktası $(3,-h)$'dır. Köşegenlerin kesişim noktası $E$'yi bulalım: $AC$ doğrusu $y = -\frac{h}{8}(x+5)$, $BD$ doğrusu $y = \frac{h}{8}(x-5)$. Kesim noktası için $x=0$ bulunur, so $E = (0, -\frac{5h}{8})$. Üçgen $AEM$'nin köşeleri $A(-5,0)$, $E(0,-\frac{5h}{8})$, $M(0,0)$'dır. Alan formülüyle: $$\text{Alan}_{AEM} = \frac{1}{2} \left| -5 \left( -\frac{5h}{8} - 0 \right) \right| = \frac{1}{2} \times \frac{25h}{8} = \frac{25h}{16}$$ Verilen alan 12.5 cm² = $\frac{25}{2}$, so $\frac{25h}{16} = \frac{25}{2} \Rightarrow h = 8$ cm. Yamuğun alanı: $$\text{Alan}_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \times h = \frac{10 + 6}{2} \times 8 = 8 \times 8 = 64 \text{ cm}^2$$

Alt taban $a$, üst taban $b$ olsun. Verilenlere göre $a - b = 6$ cm. Yan kenar $l=5$ cm. İkizkenar yamukta, yükseklik $h$ için, taban farkının yarısı: $\frac{a-b}{2} = \frac{6}{2} = 3$ cm. Pisagor teoremi ile:

$$h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$$

Alan formülü:

$$A = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$

$A=50$ ve $h=4$ yerine koyalım:

$$50 = \frac{(a+b) \cdot 4}{2} = 2(a+b)$$

$$a+b = \frac{50}{2} = 25 \text{ cm}$$

$a-b=6$ ve $a+b=25$ denklemlerini çözelim:

$$a = \frac{25+6}{2} = 15.5 \text{ cm}, \quad b = \frac{25-6}{2} = 9.5 \text{ cm}$$

Çevre: $P = a + b + 2l = 25 + 2 \cdot 5 = 35$ cm.

Doğru cevap: $35$ cm.