Üçgende Açılar Soru Çözümü

İki iç açıortayın kesişim noktasındaki açı için: $\theta = 90^\circ + \frac{C}{2}$. Burada $\theta = 140^\circ$, so $90^\circ + \frac{C}{2} = 140^\circ$. Solving: $\frac{C}{2} = 50^\circ$, so $C = 100^\circ$. Ayrıca, $A = 3B$ ve $A + B + C = 180^\circ$ olduğunu biliyoruz. $C = 100^\circ$ ise, $A + B = 80^\circ$ ve $A = 3B$ so $4B = 80^\circ$, $B = 20^\circ$, $A = 60^\circ$, which are valid angles for a triangle.

$[CH] \perp AB$ olduğundan, $\triangle AHC$ ve $\triangle BHC$ dik üçgenlerdir. Önce $\triangle AHC$'yi inceleyelim: $\angle A = 45^{\circ}$, so iç açılar toplamından $\angle ACH = 45^{\circ}$. Bu nedenle $\triangle AHC$ bir 45-45-90 özel üçgenidir. 45-45-90 üçgeninde dik kenarlar eşittir, so $|CH| = |AH| = 6$ cm. Şimdi $\triangle BHC$'ye bakalım: $\angle B = 30^{\circ}$, so $\angle BCH = 60^{\circ}$ ($\angle CHB = 90^{\circ}$ olduğu için). Böylece $\triangle BHC$ bir 30-60-90 özel üçgenidir. 30-60-90 üçgeninde, $30^{\circ}$ açısının karşısındaki kenar $|CH| = 6$ cm'dir ve hipotenüs $|BC|$, bu kenarın iki katıdır: $$|BC| = 2 \cdot |CH| = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}.$$ Alternatif olarak, $\sin(30^{\circ}) = \frac{|CH|}{|BC|} \Rightarrow |BC| = \frac{|CH|}{\sin(30^{\circ})} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$ cm. Sonuç olarak, $|BC| = 12$ cm'dir.

In the intouch triangle $DEF$, each angle is complementary to half of the opposite angle of the original triangle. For the angle at $D$, $\angle EDF = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$. Given $\angle EDF = 65^\circ$, we have $65^\circ = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$, so $\frac{\angle A}{2} = 25^\circ$, and thus $\angle A = 50^\circ$.