Açıortay ve Kenarortay Soru Çözümü

İkizkenar üçgende $AD$ aynı zamanda yüksekliktir, so $AD \perp BC$. $BD = DC = 6\text{ cm}$. Pisagor teoreminden: $$|AD| = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}.$$ Katlama $AD$ boyunca yapıldığı için, $|AB| = |AB'| = 10\text{ cm}$. $|AC|=10\text{ cm}$ olduğundan, $B'$ noktası $C$ ile çakışır, yani $B' = C$. Böylece $BB' = BC = 12\text{ cm}$ ve $K$, $BB'$'nin orta noktası olduğundan $|BK| = 6\text{ cm}$. $ABK$ üçgeninde, $|AB|=10\text{ cm}$, $|BK|=6\text{ cm}$ ve $\angle ABK = \angle B$ (ikizkenar üçgenin taban açısı). Kosinüs teoreminden $\cos B = \frac{10^2 + 12^2 - 10^2}{2 \cdot 10 \cdot 12} = \frac{144}{240} = 0.6$. Şimdi, $|AK|^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 0.6 = 100 + 36 - 72 = 64$, so $|AK| = 8\text{ cm}$.

Eşkenar üçgenin alan formülü: $$A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Verilen alan $36\sqrt{3}$ cm$^2$ olduğundan, $$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 144 \Rightarrow a=12$$ cm. Ağırlık merkezi iç teğet çember merkezi ile çakıştığı için kenara uzaklık iç teğet çember yarıçapıdır: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$$ cm.

İç açıortay teoremine göre, $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. $BD = 3$ cm verildiğinden, $DC = 4$ cm olur, böylece $BC = 7$ cm. Dış açıortay teoremine göre, $\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$. $AC > AB$ olduğu için dış açıortay $BC$'nin $B$ tarafındaki uzantısını keser. $BE = 3k$ ve $CE = 4k$ diyelim. $CE = BE + BC$ olduğundan, $4k = 3k + 7$, so $k = 7$. Böylece $BE = 3 \times 7 = 21$ cm ve $CE = 4 \times 7 = 28$ cm. $D$ noktası $B$ ile $C$ arasında olduğundan, $DE = BE + BD = 21 + 3 = 24$ cm. İç ve dış açıortayların dik olması bu hesaplamada doğrudan kullanılmamıştır, çünkü bu özellik her üçgende geçerlidir; soruda verilmesi öğrencinin konuyu bilmesini sağlamak içindir.