Doğruda Açılar Soru Çözümü

Verilen açılar, $d_1$ ve $d_2$ nin $k$ ile yaptığı açılardır ve paralel olmadıkları için yöndeş açı özelliği geçerli değildir. Ancak, $d_1$ ve $d_2$ nin $k$ nin aynı tarafında kalan açıları toplamını bulmak için üçgen iç açılar toplamını kullanabiliriz. $k$ doğrusu ile $d_1$ ve $d_2$ nin kesişim noktalarını birleştiren bir üçgen düşünürsek, bu üçgenin iç açılarından ikisi $70^\circ$ ve $110^\circ$ dir. Üçüncü açı, $d_1$ ve $d_2$ nin $k$ nin aynı tarafında kalan açılarının toplamına eşittir. Üçgen iç açılar toplamı $180^\circ$ olduğundan, bu toplam $180^\circ - (70^\circ + 110^\circ) = 0^\circ$ değildir; çünkü $70^\circ$ ve $110^\circ$ aynı üçgenin iç açıları olabilir. Doğru yaklaşım: $k$ doğrusu üzerinde, $d_1$ ve $d_2$ nin kesişim noktaları arasında kalan segment bir üçgenin tabanı gibi düşünülürse, $d_1$ ve $d_2$ nin $k$ nin aynı tarafındaki açıları, bu üçgenin diğer iki iç açısını oluşturur. Üçgen iç açıları toplamı $180^\circ$ dir, ve $70^\circ$ ile $110^\circ$ bu üçgenin iki açısı ise, üçüncü açı $180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$ olur ki bu mümkün değildir. Bu nedenle, $70^\circ$ ve $110^\circ$ aynı üçgenin iç açıları değil, farklı konumlarda olabilir. Soruda, $d_1$ ve $d_2$ nin $k$ nin aynı tarafında kalan açılarının toplamı isteniyor. $k$ doğrusu, $d_1$ ve $d_2$ yi kestiğinde, $k$ nin bir tarafında, $d_1$ ile $k$ arasında bir açı (örneğin $\alpha$) ve $d_2$ ile $k$ arasında bir açı (örneğin $\beta$) vardır. $\alpha$ ve $\beta$ nın toplamı, $d_1$ ve $d_2$ nin oluşturduğu üçgenin bir dış açısına veya başka bir ilişkiye bağlı olabilir. Ancak, genel olarak, $d_1$ ve $d_2$ paralel olmadığında, $\alpha$ ve $\beta$ toplamı $180^\circ$ olabilir çünkü $k$ doğrusu üzerinde doğrusal açılar vardır. Örneğin, $70^\circ$ ve $110^\circ$ toplamı $180^\circ$ dir ve bu, $k$ doğrusu üzerinde aynı tarafta olan açılar olarak yorumlanabilir. Eğer $70^\circ$, $d_1$ ile $k$ nin bir tarafındaki açı ise ve $110^\circ$, $d_2$ ile $k$ nin aynı tarafındaki açı ise, toplamları $180^\circ$ olur. Bu nedenle doğru cevap $180^\circ$ dir.

$\widehat{X}$ ve $\widehat{Z}$ iç ters açılardır ve ölçüleri eşit ($110^\circ$) olduğu için, iç ters açılar kuralı gereği $a \parallel b$ dir. $\widehat{X}$ ve $\widehat{Y}$ bütünler açılar olduğu için toplamları $180^\circ$ dir, bu kesenin varlığını gösterir. Diğer seçenekler için paralellik kanıtı yoktur.

Açıyı $x$ olarak alalım. Tümleyeni $90^\circ - x$, bütünleyeni $180^\circ - x$'dir. Bu ikisinin toplamı: $(90^\circ - x) + (180^\circ - x) = 270^\circ - 2x$. Verilen toplam $210^\circ$ olduğundan, denklem kurulur: $270^\circ - 2x = 210^\circ$. Çözüm: $2x = 60^\circ$, yani $x = 30^\circ$.