Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen Soru Çözümü

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar, bu nedenle $AO$ ve $BO$ köşegenlerin yarı uzunluklarıdır. $AOB$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanır. $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ olduğu dikkate alınırsa:

$$|AB|^2 = |AO|^2 + |BO|^2 - 2 \cdot |AO| \cdot |BO| \cdot \cos(120^\circ)$$

$$|AB|^2 = 9^2 + 12^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 81 + 144 + 108 = 333$$

$$|AB| = \sqrt{333} = \sqrt{9 \cdot 37} = 3\sqrt{37} \text{ cm}$$

Bu nedenle doğru cevap $3\sqrt{37}$ cm'dir.

Paralelkenarın alanı $A = 144$ cm² ve taban $|AB| = 12$ cm olduğundan, yükseklik $h = \frac{A}{|AB|} = \frac{144}{12} = 12$ cm'dir. Yamuğun tabanları $EG$ ve $DH$'dır. $EG = AG - AE = 7 - 2 = 5$ cm, ve $DH = 3$ cm'dir. $EG$ ve $DH$, $AB$ ve $DC$'ye paralel olduğu için, yamuğun yüksekliği paralelkenarın yüksekliği $h$'dır. Yamuğun alanı: $$\text{Alan} = \frac{EG + DH}{2} \times h = \frac{5+3}{2} \times 12 = \frac{8}{2} \times 12 = 4 \times 12 = 48 \text{ cm²}.$$

Paralelkenarın alanı $A = 120$ cm² ve taban $|AB| = 10$ cm olduğundan, yükseklik $h = \frac{A}{|AB|} = \frac{120}{10} = 12$ cm'dir. Yamuğun tabanları $DC = AB = 10$ cm ve $EF = AF - AE = 7 - 2 = 5$ cm'dir. Yamuğun yüksekliği, paralelkenarın yüksekliği ile aynıdır, çünkü $DC$ ve $EF$ paraleldir ve $AB$ ile $DC$ arasındaki mesafe $h$'dır. Yamuğun alanı formülü: $$\text{Alan} = \frac{(DC + EF)}{2} \times h = \frac{10+5}{2} \times 12 = \frac{15}{2} \times 12 = 15 \times 6 = 90 \text{ cm²}.$$ Alternatif olarak, alan kaydırma yöntemiyle: Paralelkenarın alanından $\triangle AED$ ve $\triangle BFC$ üçgenlerinin alanlarını çıkarabiliriz. $\triangle AED$ alanı = $\frac{1}{2} \times AE \times h = \frac{1}{2} \times 2 \times 12 = 12$ cm². $\triangle BFC$ alanı = $\frac{1}{2} \times FB \times h$, burada $FB = AB - AF = 10-7=3$ cm, yani $\frac{1}{2} \times 3 \times 12 = 18$ cm². Toplam üçgen alanı $12+18=30$ cm², bu yüzden yamuk alanı $120-30=90$ cm².