Noktanın Analitiği Soru Çözümü

Orta nokta formülü: $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$. $M(1,2)$ ve $A(3,4)$ verildiğine göre, $B(x_B, y_B)$ noktasını bulmak için denklemleri kuralım:

$$\frac{3 + x_B}{2} = 1 \Rightarrow 3 + x_B = 2 \Rightarrow x_B = -1$$

$$\frac{4 + y_B}{2} = 2 \Rightarrow 4 + y_B = 4 \Rightarrow y_B = 0$$

Bu durumda $B(-1,0)$ noktası elde edilir.

İki nokta arası uzaklık formülü: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$ kullanılarak her kenar hesaplanır.

AB kenarı: $$\sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$

BC kenarı: $$\sqrt{(7-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$

AC kenarı: $$\sqrt{(7-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36+0} = 6$$

Çevre = 5 + 5 + 6 = 16.

İki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bu iki noktanın orta noktasından geçen ve doğruya dik olan bir doğrudur. Uzaklık formülünü kullanarak: $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-7)^2$$ genişletirsek: $$x^2 -4x+4 + y^2 -6y+9 = x^2 -8x+16 + y^2 -14y+49$$ sadeleştirirsek: $$-4x -6y +13 = -8x -14y +65$$ tüm terimleri bir tarafa toplayıp: $$4x + 8y = 52$$ veya $$x + 2y = 13$$ bulunur. Bu, seçenek C'de verilmiştir.