Çemberde Uzunluk ve Alan Soru Çözümü

Çemberin çevresi $C = 4a$ (karenin çevresi). Çemberin yarıçapı $r = \frac{C}{2\pi} = \frac{4a}{2\pi} = \frac{2a}{\pi}$. Alan $A_{\text{çember}} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{2a}{\pi} \right)^2 = \pi \cdot \frac{4a^2}{\pi^2} = \frac{4a^2}{\pi}$. Karenin alanı $A_{\text{kare}} = a^2$. Oran: $\frac{A_{\text{çember}}}{A_{\text{kare}}} = \frac{4a^2 / \pi}{a^2} = \frac{4}{\pi}$.

Merkezler arası uzaklık $d = r\sqrt{2}$. Kesişim açısı $\theta = 2 \arccos\left(\frac{d}{2r}\right) = 2 \arccos\left(\frac{r\sqrt{2}}{2r}\right) = 2 \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ radyan. Kesişim alanı $A = r^2(\theta - \sin\theta) = r^2\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$. Dairenin alanı $\pi r^2$. Oran: $\frac{A}{\pi r^2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 1}{\pi} = \frac{\pi - 2}{2\pi}$.

İp, her daire etrafında yarım daire yayı takip eder ve iki merkez arasında bir doğru parçası içerir. Yarım daire yay uzunluğu: $\pi r$, iki daire için $2\pi r$. Merkezler arası mesafe (dıştan teğet oldukları için): $2r$. Doğru parçası uzunluğu: $2r$. Toplam ip uzunluğu: $$L = 2\pi r + 2r = 2r(\pi+1).$$ $r=5$ cm için: $$L = 2\cdot5(\pi+1) = 10(\pi+1)\text{ cm}.$$