Özel Üçgenler Soru Çözümü

İkizkenar yamukta, |AE| = |FB| = $\frac{|AB| - |CD|}{2} = \frac{24-6}{2} = 9$ cm. BCF dik üçgeninde, dik açı F noktasında, |BF| = 9 cm ve |BC| = 15 cm hipotenüstür. Pisagor teoreminden: $$|CF|^2 = |BC|^2 - |BF|^2 = 225 - 81 = 144$$ $$|CF| = 12 \text{ cm}.$$ Dik üçgenin alanı: $$\text{Alan} = \frac{1}{2} \times |BF| \times |CF| = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2.$$ Bu üçgen, kenar uzunlukları $9$-$12$-$15$ olan özel bir dik üçgendir (3-4-5 üçgeninin katı).

Öklid bağıntılarına göre, dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, dik kenarların çarpımının hipotenüse bölümüne eşittir. Hipotenüs $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm'dir. Yükseklik $BD = \frac{AB \times BC}{AC} = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13}$ cm olarak bulunur.

$ABC$ üçgeni bir 30-60-90 üçgenidir. $m(\widehat{A}) = 30^\circ$ olduğundan, $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ dir. 30-60-90 üçgeninde kenar oranları: 30° karşısındaki kenar : 60° karşısındaki kenar : hipotenüs = $1 : \sqrt{3} : 2$. $AC = 6$ cm, $A$ açısına komşu olduğu için 60° karşısındaki kenardır, yani $AC = x\sqrt{3}$ diyelim, buradan $x\sqrt{3} = 6$, $x = 2\sqrt{3}$. O halde $BC = 2\sqrt{3}$ cm (30° karşısı) ve $AB = 4\sqrt{3}$ cm (hipotenüs). $CH$ yüksekliği, $ABC$ üçgeninin alanından veya benzerlikten hesaplanabilir. $ACH$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir çünkü $m(\widehat{A}) = 30^\circ$ ortak ve her ikisi de dik üçgendir. Benzerlik oranı kullanılarak: $$\frac{CH}{BC} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{CH}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} \Rightarrow CH = 3 \text{ cm}.$$ Alternatif olarak, alan formülü: $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \Rightarrow 6 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot CH \Rightarrow CH = 3.$$ Doğru cevap $3$ cm'dir.