İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği

Türev ve Uygulamaları Soru Çözümü

Türev ve Uygulamaları, KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$f(x)=3x+2$ fonksiyonu için $[0,4]$ aralığındaki ortalama değişim oranı ile $x=2$ noktasındaki anlık değişim oranını karşılaştırınız.

  1. Ortalama değişim oranı, anlık değişim oranına eşittir.

    Doğru cevap
  2. B

    Ortalama değişim oranı, anlık değişim oranından büyüktür.

  3. C

    Ortalama değişim oranı, anlık değişim oranından küçüktür.

  4. D

    Karşılaştırma yapılamaz çünkü fonksiyon türevlenebilir değildir.

  5. E

    Fonksiyon sabit olduğu için her ikisi de sıfırdır.

Çözüm

Ortalama değişim oranı: $$\frac{f(4)-f(0)}{4-0} = \frac{(3\cdot4+2)-(3\cdot0+2)}{4} = \frac{14-2}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Anlık değişim oranı (türev): $f'(x)=3$, dolayısıyla $x=2$ için $f'(2)=3$.

Her ikisi de 3'e eşit olduğundan, eşittir. Doğrusal fonksiyonlarda ortalama ve anlık değişim oranları aralık boyunca sabit ve eşittir.

Soru 2

$ y = (x^2 + 1)^{x} $ fonksiyonunun türevini logaritmik türev alma yöntemiyle bulunuz.

  1. $ (x^2 + 1)^{x} (\ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}) $

    Doğru cevap
  2. B

    $ (x^2 + 1)^{x} (\ln(x^2 + 1) + \frac{2x}{x^2 + 1}) $

  3. C

    $ x (x^2 + 1)^{x-1} \cdot 2x $

  4. D

    $ (x^2 + 1)^{x} (2x \ln(x^2 + 1) + \frac{x}{x^2 + 1}) $

  5. E

    $ (x^2 + 1)^{x} (\frac{2x}{x^2 + 1}) $

Çözüm

Logaritmik türev alma adımları:

1. $ \ln y = x \ln(x^2 + 1) $

2. $ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(x^2 + 1) + x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} $

3. $ \frac{dy}{dx} = y (\ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}) = (x^2 + 1)^{x} (\ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}) $

Soru 3

Şekilde $f(x)=x^2-4x+5$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. (Parabol, tepe noktası $(2,1)$ olan, kolları yukarı doğru bir eğri.)
Buna göre, $f'(x)$ türev fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A

    Bir parabol grafiği (kolları aşağı doğru)

  2. B

    $x=2$ doğrusu üzerinde sabit bir doğru

  3. $x$ eksenini $x=2$ noktasında kesen, pozitif eğimli bir doğru

    Doğru cevap
  4. D

    $x=0$ ve $x=4$ noktalarında $x$ eksenini kesen bir parabol

  5. E

    Her noktada pozitif değer alan bir doğru

Çözüm

$f(x)=x^2-4x+5$ fonksiyonunun türevi $f'(x)=2x-4$'tür. Bu, eğimi $2$ olan ve $x=2$ için $f'(2)=0$ değerini alan bir doğrusal fonksiyondur. Grafik olarak, $x$ eksenini $x=2$ noktasında kesen ve pozitif eğimli (sağa doğru artan) bir doğru olarak temsil edilir. Diğer şıklar bu özelliklere uymaz: A şıkkı parabol, B şıkkı sabit fonksiyon, D şıkkı parabol ve E şıkkı her yerde pozitif olan doğru, oysa $f'(x)$ $x<2$ için negatif değer alır.

Türev ve Uygulamaları konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği dersinde türev ve uygulamaları konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği — diğer konular

Tümünü gör