İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği

Lineer Denklem Sistemleri Soru Çözümü

Lineer Denklem Sistemleri, KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$Ax = b$ lineer denklem sisteminin genişletilmiş matrisi $[A|b]$'nin rankı $3$, katsayılar matrisi $A$'nın rankı $2$ ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Sistem tutarsızdır.

    Doğru cevap
  2. B

    Sistemin tek çözümü vardır.

  3. C

    Sistemin sonsuz çözümü vardır.

  4. D

    Sistem her zaman tutarlıdır.

  5. E

    $A$ tekil değildir.

Çözüm

Lineer bir denklem sisteminin tutarlı (çözümü olan) olması için, katsayılar matrisinin rankı $\text{rank}(A)$ ile genişletilmiş matrisin rankı $\text{rank}([A|b])$ eşit olmalıdır. Burada $\text{rank}(A) = 2$ ve $\text{rank}([A|b]) = 3$ olduğundan, $\text{rank}(A) \neq \text{rank}([A|b])$'dir. Bu durumda sistem tutarsızdır, yani hiç çözümü yoktur. Diğer şıklar yanlıştır: tek veya sonsuz çözüm için ranklar eşit olmalıdır, $A$ tekil olabilir veya olmayabilir, ama burada rank farkı tutarsızlığı gösterir.

Soru 2

$a$ bir reel sayı olmak üzere, $$ \begin{cases} 3x + ay = 5 \\ 6x + (a+1)y = 10 \end{cases}$$ lineer denklem sisteminin sonsuz çözümü olması için $a$'nın alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A

    $\{-3, 1\}$

  2. B

    $\{2\}$

  3. $\{1\}$

    Doğru cevap
  4. D

    $\emptyset$ (boş küme)

  5. E

    $\{-1\}$

Çözüm

Sistemin sonsuz çözümü olması için katsayılar matrisinin determinantı $\det(A) = 0$ ve genişletilmiş matrisin determinantı da $\det(A|b) = 0$ olmalıdır (Cramer kuralı). İlk önce katsayılar matrisinin determinantını hesaplayalım:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & a \\ 6 & a+1 \end{bmatrix}, \quad \det(A) = 3(a+1) - 6a = 3a + 3 - 6a = -3a + 3 = 3(-a + 1)$$

Bunu sıfıra eşitleyerek $a = 1$ bulunur. Şimdi genişletilmiş matrisin determinantını kontrol edelim:

$$A|b = \begin{bmatrix} 3 & a & 5 \\ 6 & a+1 & 10 \end{bmatrix}$$

Bu matrisin determinantı yalnızca $2 \times 2$ alt matrisler için hesaplanabilir, ancak sistemin tutarlı olması için rank koşuluna bakabiliriz. $a = 1$ için sistem:

$$\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$$ İkinci denklem birinci denklemin 2 katıdır, yani denklemler lineer bağımlıdır ve sistem tutarlıdır. Dolayısıyla $a = 1$ olduğunda sonsuz çözüm vardır. Seçenekler arasında sadece $\{1\}$ doğrudur.

Soru 3

Bir lineer denklem sisteminin katsayılar matrisi $A$ olsun. $A$'nın özdeğerleri $0$, $1$ ve $2$'dir. Bu sistemin genişletilmiş matrisi $[A | b]$ için, sistemin tutarlı olması aşağıdakilerden hangisini gerektirir?

  1. A

    $b$ vektörü sıfır vektör olmalıdır.

  2. B

    $b$ vektörü, $A$'nın sıfır uzayında olmalıdır.

  3. $b$ vektörü, $A$'nın sütun uzayında olmalıdır.

    Doğru cevap
  4. D

    $b$ vektörü, $A$'nın özvektörü olmalıdır.

  5. E

    Sistem her zaman tutarlıdır.

Çözüm

Lineer sistem $Ax = b$'nin tutarlı olması için, $b$ vektörünün $A$'nın sütun uzayında olması gerekir. Bu, genişletilmiş matrisin rankı $\text{rank}([A|b])$'nin, katsayılar matrisinin rankı $\text{rank}(A)$'ya eşit olması anlamına gelir. Özdeğerler, $A$'nın tekil olduğunu gösterir (çünkü $0$ özdeğeri var), ancak tutarlılık koşulu $b$'nin sütun uzayında olmasıdır. Diğer şıklar yanlıştır: $b$ sıfır olmak zorunda değildir, sıfır uzayında olması $Ab=0$ demektir ki bu gerekli değildir, özvektör olması gerekmez, ve sistem her zaman tutarlı değildir çünkü $b$ sütun uzayında değilse tutarsızdır.

Lineer Denklem Sistemleri konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği dersinde lineer denklem sistemleri konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği — diğer konular

Tümünü gör