Fonksiyonlar ve Özellikleri Soru Çözümü

Bu fonksiyonel denklem, üstel fonksiyonların karakteristik özelliğidir. Sürekli $f$ fonksiyonu için, $f(x)=a^x$ formundadır. İspat: $f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$, so $f(0)=0$ veya $1$. Eğer $f(0)=0$ ise, tüm $x$ için $f(x)=0$ (sabit fonksiyon), ancak bu da denklemi sağlar. Fakat sürekli ve sıfır olmayan durumda $f(0)=1$ alınır. $g(x)=\ln f(x)$ tanımlanırsa (pozitiflik varsayılarak), $g(x+y)=g(x)+g(y)$ elde edilir, bu da $g(x)=cx$ verir. Thus $f(x)=e^{cx}=a^x$, yani üstel fonksiyon.

Örten fonksiyon sayısı için içerme-dışarma prensibi kullanılır: $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^m$$ burada $m=|A|=4$, $n=|B|=3$. Hesaplarsak: $$\binom{3}{0}3^4 - \binom{3}{1}2^4 + \binom{3}{2}1^4 - \binom{3}{3}0^4 = 1 \cdot 81 - 3 \cdot 16 + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 81 - 48 + 3 = 36$$.

$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ olduğundan, kökleri $x=1$ ve $x=3$'tür. $x=2$ noktasında $f(2) = -1$ olduğu için $|f(2)| = 1$ olur ve $f(x)$ bu noktada minimum değere sahipken, $|f(x)|$ bu noktada yerel maksimuma sahiptir. Dolayısıyla A şıkkı yanlıştır. Diğer şıklar doğrudur: $y=f(|x|)$ çift fonksiyondur, her iki grafik köklerde kesişir, $y=f(|x|)$'in görüntü kümesi $[-1, \infty)$, $y=|f(x)|$'in görüntü kümesi $[0, \infty)$'dır.