Çok Değişkenli Fonksiyonlar Soru Çözümü

Önce türevleri hesaplayalım: $x(t) = e^t \cos t$, so $x'(t) = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t)$.

$y(t) = e^t \sin t$, so $y'(t) = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$.

$z(t) = e^t$, so $z'(t) = e^t$.

Normun karesi: $$\|\mathbf{r}'(t)\|^2 = [e^t (\cos t - \sin t)]^2 + [e^t (\sin t + \cos t)]^2 + (e^t)^2$$

= $e^{2t} [(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 + 1]$

Parantez içini hesaplayalım: $(\cos t - \sin t)^2 = \cos^2 t - 2\cos t \sin t + \sin^2 t$

$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t$

Toplam: $\cos^2 t + \sin^2 t + \cos^2 t + \sin^2 t + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$, çünkü $-2\cos t \sin t + 2\sin t \cos t = 0$.

Thus, $\|\mathbf{r}'(t)\|^2 = e^{2t} \cdot 3$, so $\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{3} e^t$.

Yay uzunluğu: $$L = \int_0^{\ln 2} \sqrt{3} e^t \, dt = \sqrt{3} \int_0^{\ln 2} e^t \, dt = \sqrt{3} \, e^t \Big|_0^{\ln 2} = \sqrt{3} (e^{\ln 2} - e^0) = \sqrt{3} (2 - 1) = \sqrt{3}$$

Doğru cevap A şıkkı: $\sqrt{3}(2 - 1)$, bu da $\sqrt{3}$'e eşit. Diğer şıklar hatalı: B integrali yanlış alıyor, C aynı A ama gereksiz, D normu yanlış, E sınırları yanlış kullanıyor.

Fonksiyonun tanımlı olması için iki koşul vardır:

• $\ln(y-x)$ için: $y-x > 0 \Rightarrow y > x$
• $\frac{1}{x}$ için: $x \neq 0$ (payda sıfır olamaz)

Bu iki koşul aynı anda sağlanmalıdır: $y > x$ ve $x \neq 0$. Bu, Şık A'da verilmiştir. Şık B'de $y \geq x$ ve $x > 0$ var, ancak $\ln(y-x)$ için $y-x > 0$ gerekir, eşitlik ($y=x$) yetersizdir. Şık C'de $y < x$, bu $y > x$ ile çelişir. Şık D'de $x > 0$ ek koşulu var, oysa $x \neq 0$ yeterlidir. Şık E'de $y \leq x$ ve $x < 0$, bu hem $y > x$ ile çelişir hem de $x$ koşulu gereksiz kısıtlar.

Silindirik koordinatlarda dönüşüm doğru yapılmalıdır. Bölge $V$: $x^2 + y^2 \leq 9 \implies r \leq 3$ (çünkü $r^2 \leq 9$), $0 \leq z \leq 5$. Jacobian $r$ olur, yani $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$. Integrand: $x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2$.

Adımları kontrol edelim:

• A: Doğru, $x^2 + y^2 = r^2$.
• B: Doğru, Jacobian $r$.
• C: Yanlış, çünkü $r$ sınırları 0'dan 3'e olmalı, 9 değil (9, $r^2$'nin maksimumu).
• D: Doğru, $r$ sınırları 0-3 düzeltilmiş, integral ifadesi bu.
• E: Doğru, integral hesaplanırsa: $$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \int_{0}^{5} (r^3 + r z^2) \, dz \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \left[ r^3 z + r \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{5} \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} (5r^3 + \frac{125}{3} r) \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{5r^4}{4} + \frac{125}{6} r^2 \right]_{0}^{3} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{405}{4} + \frac{375}{2} \right) \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{405}{4} \, d\theta = \frac{405\pi}{2}.$$

Yanlış adım: C şıkkı, çünkü $r$ sınırları yanlış verilmiş.