Düzlem Geometrisi Soru Çözümü

Sinüs alan formülünü kullanarak $\sin(\angle BAC)$ değerini bulabiliriz. Formül: $\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(\angle BAC)$.

Verilenleri yerine koyalım: $\text{Alan} = 6\sqrt{2}$, $|AB| = 4$, $|AC| = 6$.

$$6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(\angle BAC)$$

$$6\sqrt{2} = 12 \cdot \sin(\angle BAC)$$

$$\sin(\angle BAC) = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Bu nedenle doğru cevap $\frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.

İkizkenar yamukta köşegenler eşittir, yani $AC = BD$. Batlamyus teoremini uygulayalım:

$$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$$

$AC = BD$ olduğundan, $$AC^2 = AB \cdot CD + AD \cdot BC$$

Verilen değerleri yerine koyarsak:

$$AC^2 = 10 \cdot 6 + 5 \cdot 5 = 60 + 25 = 85$$

Buradan, $$AC = \sqrt{85} \text{ cm}$$ bulunur.

Stewart teoremine göre, bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $BC$ üzerinde ise:

$$AD^2 = \frac{AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC}{BC} - BD \cdot DC$$

Değerleri yerine koyarak:

$$AD^2 = \frac{6^2 \cdot 4 + 8^2 \cdot 6}{10} - 4 \cdot 6 = \frac{36 \cdot 4 + 64 \cdot 6}{10} - 24 = \frac{144 + 384}{10} - 24 = \frac{528}{10} - 24 = 52.8 - 24 = 28.8$$

Buradan, $$AD = \sqrt{28.8} = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$$

Doğru cevap $\frac{12\sqrt{5}}{5}$ olur.