Katı Cisimler Soru Çözümü

Kesik koninin hacim formülü: $$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$$, burada $R$ ve $r$ sırasıyla büyük ve küçük taban yarıçapları, $h$ ise yüksekliktir. Verilen değerler: $R = 8$, $r = 2$, $h = 6$. Formülde yerine koyalım:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot (8^2 + 8 \cdot 2 + 2^2) = 2\pi \cdot (64 + 16 + 4) = 2\pi \cdot 84 = 168\pi$$

Bu nedenle hacim $168\pi\ \text{cm}^3$ olarak bulunur.

Paralelkenar tabanlı prizmanın hacmi için önce taban alanı hesaplanır. Taban paralelkenarının alanı, vektörel çarpım kullanılarak bulunabilir. $\vec{AB} = (2,0,0)$ ve $\vec{AD} = (1,2,0)$ vektörlerinin vektörel çarpımı: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 0 \cdot 2)\mathbf{i} - (2 \cdot 0 - 0 \cdot 1)\mathbf{j} + (2 \cdot 2 - 0 \cdot 1)\mathbf{k} = (0,0,4)$$ Büyüklüğü $|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4$, yani paralelkenar alanı $4$ birim kare. Yükseklik, $A$ ve $A'$ arasındaki $z$ koordinatı farkı: $4 - 0 = 4$ birim. Hacim: $V = 4 \times 4 = 16$ birim küp.

Silindir tamamen dolu olduğundan, su yüksekliği $h_s = 12$ cm'dir. Yarıçap $r = 4$ cm'dir. Maksimum eğim açısı $\theta$ için, eksenel kesitte $$\tan\theta = \frac{h_s}{r} = \frac{12}{4} = 3$$ olur. Buradan, $$\theta = \arctan(3)$$ radyan bulunur. Seçeneklerde bu ifade doğrudan verilmiştir. Diğer seçenekler yaklaşık değerler veya farklı açılardır, ancak tam değer $\arctan(3)$'tür. Doğru cevap C seçeneğidir.