İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği

Lineer Cebir: Vektör Uzayları Soru Çözümü

Lineer Cebir: Vektör Uzayları, KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

Verilen matrisin satır uzayı için bir taban bulunuz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

  1. A

    $\{ (1,2,3), (2,4,6) \}$

  2. $\{ (1,2,3), (0,1,1) \}$

    Doğru cevap
  3. C

    $\{ (2,4,6), (0,1,1) \}$

  4. D

    $\{ (1,2,3) \}$

  5. E

    $\{ (0,1,1) \}$

Çözüm

Satır uzayı, matrisin satır vektörlerinin gerim uzayıdır. İkinci satır, birinci satırın 2 katıdır: $2 \cdot (1,2,3) = (2,4,6)$, bu nedenle lineer bağımlıdır. Üçüncü satır ise bağımsızdır. $İndirgenmiş satır basamak formu$ veya lineer bağımsızlık kontrolü ile $​\{ (1,2,3), (0,1,1) \}$ kümesinin lineer bağımsız olduğu ve satır uzayını gerdiği görülür, dolayısıyla bir tabandır.

Soru 2

$T: P_2 \to P_1$ lineer dönüşümü $T(p(x)) = p'(x)$ (türev) olarak tanımlansın, burada $P_2$ derecesi en çok 2 olan reel katsayılı polinomlar uzayı, $P_1$ derecesi en çok 1 olan polinomlar uzayıdır. Bu dönüşümün çekirdeği ve görüntü kümesi nedir?

  1. A

    Çekirdek: $\{0\}$, Görüntü: $P_1$

  2. B

    Çekirdek: $\{ax^2 : a \in \mathbb{R}\}$, Görüntü: $\{bx + c : b,c \in \mathbb{R}\}$

  3. Çekirdek: $\{c : c \in \mathbb{R}\}$, Görüntü: $P_1$

    Doğru cevap
  4. D

    Çekirdek: $\{ax + b : a,b \in \mathbb{R}\}$, Görüntü: $\{c : c \in \mathbb{R}\}$

  5. E

    Çekirdek: $\{ax^2 + bx : a,b \in \mathbb{R}\}$, Görüntü: $\{c : c \in \mathbb{R}\}$

Çözüm

$T(p(x)) = p'(x)$ olduğundan, çekirdek sabit polinomlardır, çünkü bir polinomun türevi sıfır ise polinom sabittir. Yani çekirdek: $\{ c : c \in \mathbb{R} \}$.

Görüntü kümesi, tüm mümkün türevlerin kümesidir. $p(x) = ax^2 + bx + c \in P_2$ için $p'(x) = 2ax + b$ olur. $a$ ve $b$ herhangi reel sayılar olduğundan, $2ax+b$ ifadesi derecesi en çok 1 olan her polinomu temsil eder. Bu nedenle görüntü kümesi tüm $P_1$ uzayıdır.

Doğru cevap C seçeneğidir.

Soru 3

Bir matrisin indirgenmiş satır basamak formu şu şekildedir: $$R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$. Orijinal matrisin satır uzayı için bir taban bulunuz.

  1. A

    $\{ (1,0,2,0), (0,1,-1,0) \}$

  2. $\{ (1,0,2,0), (0,1,-1,0), (0,0,0,1) \}$

    Doğru cevap
  3. C

    $\{ (1,0,2), (0,1,-1) \}$

  4. D

    $\{ (1,0,2,0) \}$

  5. E

    $\{ (0,0,0,1) \}$

Çözüm

Indirgenmiş satır basamak formundaki satır işlemleri, satır uzayını korur. Bu nedenle, orijinal matrisin satır uzayı, $R$'nin satır uzayı ile aynıdır. $R$'deki sıfır olmayan üç satır lineer bağımsızdır ve satır uzayını gerdiği için, $​\{ (1,0,2,0), (0,1,-1,0), (0,0,0,1) \}$ kümesi bir tabandır.

Lineer Cebir: Vektör Uzayları konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği dersinde lineer cebir: vektör uzayları konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği — diğer konular

Tümünü gör