İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği

Analitik Geometri Soru Çözümü

Analitik Geometri, KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$x$-eksenine ve $y=4$ doğrusuna teğet olan ve merkezi $x=2$ doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $(x-2)^2+(y-2)^2=4$

    Doğru cevap
  2. B

    $(x-2\sqrt{2})^2+(y-2\sqrt{2})^2=8$

  3. C

    $(x-4)^2+(y-4)^2=16$

  4. D

    $(x-2)^2+(y-2)^2=2$

  5. E

    $(x-1)^2+(y-1)^2=1$

Çözüm

Çemberin merkezi $(h,k)$ ve yarıçapı $r$ olsun. $x$-eksenine teğet olması $|k|=r$, $y=4$ doğrusuna teğet olması ise $|4-k|=r$ demektir. Çember birinci bölgede olduğu için $k>0$ ve $4-k>0$, dolayısıyla $k=r$ ve $4-k=r$. Bu iki denklemden $k=r$ ve $4-r=r$, yani $2r=4$, $r=2$ ve $k=2$ bulunur. Merkez $x=2$ doğrusu üzerinde olduğundan $h=2$'dir. O halde çemberin denklemi: $$(x-2)^2+(y-2)^2 = 2^2 = 4.$$ Doğru cevap A şıkkıdır.

Soru 2

$2x + y - z = 3$ ve $x - 3y + 2z = 1$ düzlemlerinin arakesit doğrusunun parametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $x = \frac{10}{7} - t, \ y = \frac{1}{7} - 5t, \ z = -7t$

    Doğru cevap
  2. B

    $x = 1 + 2t, \ y = -1 + t, \ z = 2t$

  3. C

    $x = 3 - t, \ y = 0, \ z = 3 + 2t$

  4. D

    $x = t, \ y = \frac{3-2t}{7}, \ z = \frac{1+3t}{7}$

  5. E

    $x = 2, \ y = -1, \ z = t$

Çözüm

Adım 1: Doğrultu vektörünü bulma. Normal vektörler $\mathbf{n_1} = (2, 1, -1)$ ve $\mathbf{n_2} = (1, -3, 2)$. Cross product:

$$\mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot 2 - (-1)\cdot(-3)) - \mathbf{j}(2\cdot 2 - (-1)\cdot 1) + \mathbf{k}(2\cdot(-3) - 1\cdot 1) = \mathbf{i}(2-3) - \mathbf{j}(4+1) + \mathbf{k}(-6-1) = (-1, -5, -7)$$

Doğrultu vektörü $\mathbf{d} = (-1, -5, -7)$; zıt yön $(1,5,7)$ de kullanılabilir.

Adım 2: Bir nokta bulma. $z = 0$ alalım. Denklemler: $2x + y = 3$ ve $x - 3y = 1$. İkinci denklemden $x = 1 + 3y$, ilk denklemde yerine koyalım: $2(1+3y) + y = 3 \Rightarrow 2 + 6y + y = 3 \Rightarrow 7y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{7}$, sonra $x = 1 + 3\cdot\frac{1}{7} = \frac{10}{7}$. Nokta $\left(\frac{10}{7}, \frac{1}{7}, 0\right)$.

Adım 3: Parametrik denklemi yazma. Nokta ve doğrultu vektörü $(-1, -5, -7)$ kullanılarak: $x = \frac{10}{7} - t, y = \frac{1}{7} - 5t, z = -7t$. Bu A şıkkıdır. D şıkkı, parametrik olmayan bir ifade gibi görünse de aslında $z=t$ alınıp çözülmüş hali olabilir, ancak verilen denklem doğru değildir; kontrol edilirse her iki düzlemi sağlamaz.

Soru 3

Merkezi $M_1(2,3)$ ve yarıçapı $r_1=5$ olan çember ile merkezi $M_2(-1,4)$ ve yarıçapı $r_2=4$ olan çemberin kesişim noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $6x - 2y + 13 = 0$

    Doğru cevap
  2. B

    $6x + 2y - 13 = 0$

  3. C

    $2x - 6y + 13 = 0$

  4. D

    $x - 3y + 5 = 0$

  5. E

    $3x - y + 7 = 0$

Çözüm

İlk önce çemberlerin denklemlerini yazalım. Merkez $(h,k)$ ve yarıçap $r$ olan çemberin denklemi: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.

Birinci çember: $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Genişletirsek: $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$ veya $x^2 + y^2 - 4x - 6y -12 = 0$.

İkinci çember: $(x+1)^2 + (y-4)^2 = 16$. Genişletirsek: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 16$ veya $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 = 0$.

Ortak kirişin denklemi için bu iki denklemin farkını alırız: $C_1 - C_2 = (x^2+y^2-4x-6y-12) - (x^2+y^2+2x-8y+1) = -6x + 2y -13 = 0$.

Her iki tarafı -1 ile çarparsak: $6x - 2y + 13 = 0$. Bu, ortak kirişin denklemidir.

Analitik Geometri konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği dersinde analitik geometri konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği — diğer konular

Tümünü gör