İntegral ve Uygulamaları Soru Çözümü

Leibniz Kuralı'nı uygulayalım: $H(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t,x) dt$ ile $u(x) = \sin x$, $v(x) = \cos x$, $f(t,x) = \frac{1}{t^2 + x^2}$. O zaman, $$H'(x) = f(v(x), x) \cdot v'(x) - f(u(x), x) \cdot u'(x) + \int_{u(x)}^{v(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(t,x) dt.$$ $v'(x) = -\sin x$, $u'(x) = \cos x$, $f(v(x), x) = \frac{1}{\cos^2 x + x^2}$, $f(u(x), x) = \frac{1}{\sin^2 x + x^2}$, ve $\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{2x}{(t^2 + x^2)^2}$. Bu yüzden, $$H'(x) = \frac{1}{\cos^2 x + x^2} \cdot (-\sin x) - \frac{1}{\sin^2 x + x^2} \cdot \cos x + \int_{\sin x}^{\cos x} \left( -\frac{2x}{(t^2 + x^2)^2} \right) dt = -\frac{\sin x}{\cos^2 x + x^2} - \frac{\cos x}{\sin^2 x + x^2} - 2x \int_{\sin x}^{\cos x} \frac{1}{(t^2 + x^2)^2} dt.$$

We use integration by parts with $u = x$ and $dv = e^x dx$. Then $du = dx$ and $v = e^x$.

So, $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$.

Now for the definite integral from 0 to 1: $[x e^x - e^x]_{0}^{1} = (1 \cdot e^1 - e^1) - (0 \cdot e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1$.

Therefore, the answer is 1.

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değeri formülü:

$$\text{Ortalama Değer} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$$

Bu soruda $a=0$, $b=2$, $f(x)=3x^2+2$ olup:

$$\int_0^2 (3x^2 + 2) \, dx = \left[ x^3 + 2x \right]_0^2 = (8 + 4) - 0 = 12$$

Ortalama değer: $$\frac{1}{2-0} \times 12 = \frac{12}{2} = 6$$

Doğru cevap $6$'dır. Seçeneklerde diğer değerler integralin kendisi veya hatalı hesaplamalar sonucu elde edilmiştir.