Lineer Cebir: Matrisler Soru Çözümü

Bir matris nilpotent ise bir $k$ pozitif tamsayısı için $B^k = 0$ (sıfır matris) olur. Bu matris için $B^2$ hesaplanırsa:

$$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Yani $B^2 = 0$. Böylece, $k=2$ için nilpotenttir. Herhangi bir $n \geq 2$ tamsayısı için $B^n = 0$ olur. Dolayısıyla, $B^{10} = 0$ (sıfır matris)'tir.

Matris toplama işlemi, aynı boyutlu matrislerde eleman eleman yapılır. $A + B$ matrisinin elemanları:

Birinci satır, birinci sütun: $1 + 4 = 5$

Birinci satır, ikinci sütun: $2 + (-1) = 1$

İkinci satır, birinci sütun: $-1 + 2 = 1$

İkinci satır, ikinci sütun: $3 + 0 = 3$

Bu durumda, $A + B = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ olur.

Blok matris çarpımı, blokların çarpım kurallarına göre yapılır. Verilen $M$ ve $N$ matrisleri için:

$$ M \cdot N = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & C \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} D & 0 \\ E & F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AD + BE & A \cdot 0 + B \cdot F \\ 0 \cdot D + C \cdot E & 0 \cdot 0 + C \cdot F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} AD + BE & BF \\ CE & CF \end{bmatrix} $$

Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.