İstatistiksel Yöntemler Soru Çözümü

Frekans dağılımına bakıldığında, frekanslar 30-40 sınıfında maksimuma (18) ulaşmakta, daha sonra azalmaktadır. Düşük sınıflarda (10-20 ve 20-30) frekanslar nispeten yüksekken, yüksek sınıflarda (40-50 ve 50-60) düşüktür. Bu, verilerin sol tarafta (düşük değerler) toplandığını ve sağa doğru uzun bir kuyruk olmadığını gösterir. Negatif çarpıklık (sola çarpık) durumunda, dağılım sola doğru uzar, yani düşük değerlerde kuyruk uzar. Medyan ve mod, ortalamanın sağında kalır. Bu dağılımda, frekanslar sola doğru yoğunlaştığı için negatif çarpıklık vardır. Pearson'ın çarpıklık katsayısı hesaplanırsa: $$ar{x} \approx 33.33, M_d \approx 35, s \approx 10.95$$ için $$Sk = \frac{3(\bar{x} - M_d)}{s} \approx \frac{3(33.33 - 35)}{10.95} \approx -0.46$$ negatif değer alır, bu da negatif çarpıklığı doğrular.

Bayes Teoremi ile çözülür. Olaylar: $K$: öğrenci kız, $E$: öğrenci erkek, $G$: öğrenci geçiyor. Verilenler: $P(K) = 0.6$, $P(E) = 0.4$, $P(G | K) = 0.7$, $P(G | E) = 0.8$. İstenen: $P(K | G)$.

$$P(K | G) = \frac{P(G | K) \cdot P(K)}{P(G | K) \cdot P(K) + P(G | E) \cdot P(E)} = \frac{0.7 \times 0.6}{0.7 \times 0.6 + 0.8 \times 0.4} = \frac{0.42}{0.42 + 0.32} = \frac{0.42}{0.74} \approx 0.5676$$

Yaklaşık $0.568$, şıklarda $0.56$ en yakın değerdir, doğru cevap $0.56$'dır.

Regresyon denklemi $y = a + bx$ formundadır. $a$ (kesim noktası) ve $b$ (eğim) en küçük kareler yöntemiyle hesaplanır:

$$b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad a = \bar{y} - b\bar{x}$$

Verilen veriler: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{3+5+7+9+11}{5} = 7$

$S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2 = 4+1+0+1+4 = 10$

$S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (1-3)(3-7) + (2-3)(5-7) + (3-3)(7-7) + (4-3)(9-7) + (5-3)(11-7) = (-2)(-4) + (-1)(-2) + 0 + 1\cdot2 + 2\cdot4 = 8+2+0+2+8 = 20$

$b = \frac{20}{10} = 2$, $a = 7 - 2\cdot3 = 1$. Sonuç: $y = 1 + 2x$.