Diziler ve Seriler Soru Çözümü

$e^{-x^2}$ fonksiyonunun Maclaurin serisi: $$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$$ İntegrali alırsak: $$\int_{0}^{0.5} e^{-x^2} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_{0}^{0.5} x^{2n} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! (2n+1)} (0.5)^{2n+1}$$ İlk üç terimi hesaplayalım: n=0 için $\frac{1}{1 \cdot 1} (0.5)^1 = 0.5$, n=1 için $\frac{-1}{1 \cdot 3} (0.5)^3 = -\frac{0.125}{3} \approx -0.0416667$, n=2 için $\frac{1}{2 \cdot 5} (0.5)^5 = \frac{0.03125}{10} = 0.003125$. Toplam: $0.5 - 0.0416667 + 0.003125 = 0.4614583 \approx 0.4615$. Bu nedenle doğru cevap A) 0.4615.

Taylor serisinde, $n=4$ için katsayı: $\frac{f^{(4)}(0)}{4!} = \frac{2^4}{4!} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$. Buradan, $f^{(4)}(0) = \frac{2}{3} \times 24 = 16$ olarak hesaplanır. Alternatif olarak, $e^{2x}$'in türevleri biliniyor: $f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}$, dolayısıyla $f^{(4)}(0) = 2^4 \cdot e^0 = 16$. Diğer şıklar, katsayıyı yanlış hesaplama veya serideki $n$ değerini karıştırmadan kaynaklanır.

Bu seri, ortak oranı $r = \frac{2x-1}{4}$ olan bir geometrik seridir. Geometrik serilerin yakınsaklık koşulu $|r| < 1$'dir. Bu nedenle, $\left| \frac{2x-1}{4} \right| < 1$ olmalıdır. Eşitsizliği çözelim: $|2x-1| < 4$, bu da $-4 < 2x-1 < 4$ anlamına gelir. Her tarafa 1 ekleyerek: $-3 < 2x < 5$. 2'ye bölerek: $-\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$. Dolayısıyla, yakınsaklık aralığı $\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$'dır.