Limit ve Süreklilik Soru Çözümü

Ara Değer Teoremi'ni uygulamak için, fonksiyonun $[0,2]$ aralığında sürekli olması ve $f(0)$ ile $f(2)$'nin farklı işaretli olması gerekir. $f(x) = x^2 + mx - 2$ bir polinom olduğu için süreklidir. $f(0) = -2 < 0$'dır. $f(2) = 4 + 2m - 2 = 2 + 2m$ olur. $f(2)$'nin pozitif olması için $2+2m > 0$ olmalıdır, yani $m > -1$. Eğer $m = -1$ ise $f(2)=0$ olur, bu durumda $f(0) < 0$ ve $f(2)=0$ olduğundan işaret değişimi yoktur (sıfır ne pozitif ne negatiftir). Dolayısıyla, Ara Değer Teoremi uygulanamaz, ancak kök $x=2$'de vardır. Fakat soruda "Ara Değer Teoremi'ni kullanarak ispatlamak" denildiği için, teoremin koşullarının sağlanması gerekir, bu nedenle $m > -1$ olmalıdır.

$\sin(1/x)$ fonksiyonu her $x \neq 0$ için $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ aralığında sınırlıdır. Üstel fonksiyon $e^t$ sürekli ve artan olduğundan, bu eşitsizlikler üzerine uygulanarak:

$$ e^{-1} \leq e^{\sin(1/x)} \leq e^{1} $$

elde edilir. Tüm $x \neq 0$ için, bu ifadeyi $x$ ile çarparsak:

$$ x e^{-1} \leq x e^{\sin(1/x)} \leq x e^{1} $$

olur. $\lim_{x \to 0} (x e^{-1}) = 0$ ve $\lim_{x \to 0} (x e^{1}) = 0$ olduğundan, Sıkıştırma Teoremi'ne göre:

$$ \lim_{x \to 0} x e^{\sin(1/x)} = 0 $$

sonucuna varılır. Bu soru, trigonometrik bir fonksiyonun üstel bir fonksiyon içinde yer aldığı karmaşık durumlarda da Sıkıştırma Teoremi'nin etkili şekilde uygulanabileceğini göstermektedir.

Trigonometrik limit kurallarını kullanarak çözebiliriz. Bilinen limit: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k $.

Bu kuralı uygulayarak:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 $$

Limitin lineerliğinden:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - \sin(2x)}{x} = 3 - 2 = 1 $$

Bu nedenle doğru cevap $1$'dir.