Diferansiyel Denklemler Soru Çözümü

Denklem $M = 2x + y$ ve $N = x - 2y$ olarak verilmiştir. Tamlık kontrolü: $\frac{\partial M}{\partial y} = 1$, $\frac{\partial N}{\partial x} = 1$, eşit olduğundan denklem tamdır. Çözüm için $\int M \, dx = \int (2x + y) \, dx = x^2 + x y + h(y)$. $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + x y + h(y)) = x + h'(y)$ ve bu $N = x - 2y$'ye eşit olmalıdır, yani $x + h'(y) = x - 2y$'den $h'(y) = -2y$, $h(y) = -y^2 +$ sabit. Genel çözüm $x^2 + x y - y^2 = C$ olur.

Assume a particular solution of the form $y_p = Ax + B$. Then, compute derivatives: $y_p' = A$ and $y_p'' = 0$. Substitute into the differential equation: $$0 - 3A + 2(Ax + B) = 4x.$$ Simplify to: $$2Ax + (2B - 3A) = 4x.$$ Equate coefficients: for $x$, $2A = 4$ so $A = 2$; for constant term, $2B - 3(2) = 0$ so $2B - 6 = 0$, $B = 3$. Thus, the particular solution is $y_p = 2x + 3$.

$f(x,y) = x + y$ fonksiyonu tüm $(x,y)$ düzleminde süreklidir ve $\frac{\partial f}{\partial y} = 1$ olduğundan, $y$'ye göre Lipschitz süreklidir. Bu nedenle, Picard-Lindelöf teoremi gereği, başlangıç değer problemi için bir tek çözüm vardır.