Olasılık Kuramı Soru Çözümü

Poisson dağılımında, zaman aralığı t ile ortalama hız λ ise, o aralıktaki ortalama olay sayısı λ' = λt olur. Burada saatte ortalama 5 müşteri (λ=5) ve t=2 saat için λ' = 5 * 2 = 10'dur. Tam k=8 müşteri gelme olasılığı: $$P(X=8) = \frac{e^{-\lambda'} (\lambda')^8}{8!} = \frac{e^{-10} \cdot 10^8}{8!}$$ hesaplanır. Yaklaşık değer: e^-10 ≈ 4.5399e-5, 10⁸ = 100,000,000, 8! = 40320, so 4.5399e-5 * 100,000,000 / 40320 ≈ 0.1126. Seçeneklerde:

• A doğru hesaplamayı verir.
• B, zaman aralığını dikkate almadan λ=5 kullanmıştır.
• C, λ=2 kullanmıştır, bu yanlıştır.
• D ve E, üs ve faktöriyeli karıştırmıştır.

Doğru cevap A'dır.

Binom dağılımında 'en az k' başarı olasılığı:

$$P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} P(X=i)$$

Burada $n=6$, $p=0.1$ (hatalı olma olasılığı), $k=2$'dir. Dolayısıyla:

$$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$$

Alternatif yol: Tümleyen olay kullanılarak $1 - [P(X=0) + P(X=1)]$ şeklinde de ifade edilebilir, ancak bu A şıkkında verilmiştir ve soru doğrudan toplam ifadesini sormaktadır. B şıkkı, toplam ifadesini doğru verir. C, D ve E şıkları ise hatalı ifadelerdir.

İki olay $A$ ve $B$ istatistiksel olarak bağımsızdır ancak ve ancak $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ise. Verilenler: $P(A)=0.4$, $P(B)=0.3$, $P(A \cap B)=0.12$. $P(A)P(B) = 0.4 \times 0.3 = 0.12$. Dolayısıyla, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ olduğu için $A$ ve $B$ bağımsızdır. Diğer seçenekler yanlıştır çünkü bağımsızlık koşulu değildir: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ancak $A$ ve $B$ ayrık ise, koşullu olasılıklar $P(A|B)=P(A)$ ve $P(B|A)=P(B)$ bağımsızlıkta eşit olur, $P(A^c \cap B^c)$ ise genel olarak 1 değildir.