Soyut Cebir: Gruplar Soru Çözümü

İki grubun direkt çarpımında, bir $(a,b)$ elemanının mertebesi: $\text{ord}(a,b) = \text{EKOK}(\text{ord}(a), \text{ord}(b))$'dir. Burada $\text{ord}(a)$ $\mathbb{Z}_6$'da (yani 6'nın bir böleni), $\text{ord}(b)$ $\mathbb{Z}_8$'de (yani 8'in bir böleni) olmalıdır.

Mertebenin 12 olması için EKOK 12 olmalı. Olası durumlar:
1. $\text{ord}(a)=3$ ve $\text{ord}(b)=4$: $\mathbb{Z}_6$'da mertebesi 3 olan eleman sayısı $\varphi(3)=2$ (çünkü devirli grupta). $\mathbb{Z}_8$'de mertebesi 4 olan eleman sayısı $\varphi(4)=2$. Bu durumdan $2 \times 2 = 4$ eleman.
2. $\text{ord}(a)=6$ ve $\text{ord}(b)=4$: $\mathbb{Z}_6$'da mertebesi 6 olan eleman sayısı $\varphi(6)=2$, $\mathbb{Z}_8$'de aynı şekilde 2. Bu durumdan $2 \times 2 = 4$ eleman.
Toplam: $4 + 4 = 8$ eleman.

Diğer kombinasyonlar (örneğin $\text{ord}(a)=2$ ve $\text{ord}(b)=12$ gibi) mümkün değildir çünkü $\mathbb{Z}_8$'de mertebe 12 olamaz (8'i bölmeli).

Grup aksiyomlarını kontrol edelim. Kapalılık: $a,b \in \mathbb{Z}$ ise $a+b+2 \in \mathbb{Z}$ olduğundan sağlanır. Birleşme: $(a*b)*c = (a+b+2)*c = (a+b+2)+c+2 = a+b+c+4$, $a*(b*c) = a*(b+c+2) = a+(b+c+2)+2 = a+b+c+4$, eşit olduğu için sağlanır. Birim eleman $e$: $a*e = a+e+2 = a$ ise $e+2=0$, yani $e=-2$. Ters eleman $a'$: $a*a' = a+a'+2 = -2$ ise $a' = -a-4$, ve bu bir tam sayıdır. Dolayısıyla tüm aksiyomlar sağlandığı için bu işlem bir grup tanımlar.

Bir kartezyen çarpım grubunda $(g, h)$ elemanının mertebesi: $|(g, h)| = \operatorname{lcm}(|g|, |h|)$ formülü ile hesaplanır, burada $|g|$ ve $|h|$ sırasıyla $g$ ve $h$'nin kendi gruplarındaki mertebeleridir.

Önce $G = \mathbb{Z}_6$'da $2$ elemanının mertebesini bulalım: $2$'nin toplamsal mertebesi, $k \cdot 2 \equiv 0 \pmod{6}$ olacak şekildeki en küçük pozitif $k$ tam sayısıdır. $k = 3$ için $3 \cdot 2 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$ olduğundan $|2| = 3$'tür.

Şimdi $H = \mathbb{Z}_8$'de $4$ elemanının mertebesini bulalım: $k \cdot 4 \equiv 0 \pmod{8}$ denklemini sağlayan en küçük pozitif $k$ tam sayısı $k = 2$ için $2 \cdot 4 = 8 \equiv 0 \pmod{8}$ olduğundan $|4| = 2$'dir.

Dolayısıyla: $|(2, 4)| = \operatorname{lcm}(3, 2) = 6$ olur.

Doğru cevap: $6$.