Kuvvet, Tork ve Denge Soru Çözümü

Tork vektörü $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ sıfır ise, konum ve kuvvet vektörleri paralel olabilir veya çapraz çarpımları sıfırdır. İki boyutlu durumda, torkun $z$-bileşeni: $$\tau_z = r_x F_y - r_y F_x = 0$$ Verilen değerler: $r_x = 2$, $F_y = 3$, $r_y = a$, $F_x = 5$. Denklemi kuralım: $$(2)(3) - (a)(5) = 0 \Rightarrow 6 - 5a = 0 \Rightarrow 5a = 6 \Rightarrow a = \frac{6}{5} = 1.2$$ Bu durumda, tork sıfır olur. Diğer şıklar bu denklemi sağlamaz.

Statik denge için kuvvet ve tork dengeleri uygulanır. Toplam ağırlık: $W_{\text{toplam}} = m_k g + m_1 g + m_2 g = 10 \cdot 10 + 5 \cdot 10 + 15 \cdot 10 = 100 + 50 + 150 = 300\text{ N}$. Kuvvet dengesi: $N_A + N_B = 300\text{ N}$. Torku A noktasına göre alalım (saat yönünün tersini pozitif kabul ederek). Konumlar: sol uç $x=0$ alınırsa, $x_A = 1\text{ m}$, $x_B = 3\text{ m}$, $x_1 = 0.5\text{ m}$, $x_2 = 3.5\text{ m}$, kalasın kütle merkezi $x_k = 2\text{ m}$. Tork denklemi: $$\sum \tau_A = N_B \cdot (x_B - x_A) - W_k \cdot (x_k - x_A) - W_1 \cdot (x_1 - x_A) - W_2 \cdot (x_2 - x_A) = 0$$ Burada $W_k = 100\text{ N}$, $W_1 = 50\text{ N}$, $W_2 = 150\text{ N}$. Mesafeler: $x_B - x_A = 2\text{ m}$, $x_k - x_A = 1\text{ m}$, $x_1 - x_A = -0.5\text{ m}$ (mutlak değer $0.5\text{ m}$, tork yönü saat yönünde), $x_2 - x_A = 2.5\text{ m}$. Denklem: $$2N_B - 100 \cdot 1 - 50 \cdot 0.5 - 150 \cdot 2.5 = 0 \Rightarrow 2N_B - 100 - 25 - 375 = 0 \Rightarrow 2N_B = 500 \Rightarrow N_B = 250\text{ N}$$ Hata: Yukarıdaki hesaplamada tork işaretlerini karıştırdım. Doğrusu, torkları vektörel düşünerek: $\tau = r \times F$. A noktasına göre, $r$ vektörü A'dan kuvvet noktasına, $F$ dikey. $r_x = x - x_A$, $F_y$ aşağı için negatif, yukarı için pozitif. Tork z yönünde, $\tau_z = r_x F_y$.
$W_1$: $r_x = -0.5$, $F_y = -50$, $\tau_z = (-0.5)(-50) = +25$.
$W_k$: $r_x = 1$, $F_y = -100$, $\tau_z = (1)(-100) = -100$.
$W_2$: $r_x = 2.5$, $F_y = -150$, $\tau_z = (2.5)(-150) = -375$.
$N_B$: $r_x = 2$, $F_y = +N_B$, $\tau_z = 2N_B$.
Toplam tork: $25 - 100 - 375 + 2N_B = 0 \Rightarrow 2N_B = 450 \Rightarrow N_B = 225\text{ N}$.
Kuvvet dengesinden: $N_A = 300 - 225 = 75\text{ N}$.

Tork formülü $\tau = r F \sin(\theta)$ ile verilir. Burada $r$ kuvvetin uygulandığı noktanın dönme eksenine uzaklığı, $F$ kuvvet büyüklüğü, $\theta$ ise kuvvet vektörü ile kolu arasındaki açıdır. $\sin(\theta)$ fonksiyonu maksimum değeri 1'i $\theta = 90^\circ$'de alır, yani kuvvet kapıya dik uygulandığında. Bu nedenle tork maksimum olur. A şıkkı yanlıştır çünkü paralel durumda $\sin(0^\circ)=0$ olur. B şıkkı yanlıştır çünkü dik durumda tork sıfır değil maksimumdur. C şıkkı yanlıştır çünkü $r$ küçüldükçe tork azalır. E şıkkı yanlıştır çünkü tork kuvvete doğru orantılıdır.