Dairesel ve Dönme Hareketi Soru Çözümü

Öteleme kinetik enerjisi $K_{\text{öteleme}} = \frac{1}{2}mv^2$, dönme kinetik enerjisi $K_{\text{dönme}} = \frac{1}{5}mv^2$ olarak verilir. Farkları:

$$K_{\text{öteleme}} - K_{\text{dönme}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{5}mv^2 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right)mv^2 = \frac{3}{10}mv^2$$

Toplam kinetik enerji $K_{\text{top}} = \frac{7}{10}mv^2$ olduğundan, farkın toplam enerjiye oranı:

$$\frac{K_{\text{öteleme}} - K_{\text{dönme}}}{K_{\text{top}}} = \frac{\frac{3}{10}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{7} = \frac{3}{7}$$

Yani, öteleme kinetik enerjisi dönme kinetik enerjisinden toplam enerjinin $\frac{3}{7}$'si kadar fazladır.

Analiz:

• A: Formülde $v_{max} \propto \sqrt{r}$, doğru.
• B: Sürtünme katsayısı μ arttıkça, pay artar ve payda azalır (genelde), bu nedenle $v_{max}$ artar, doğru.
• C: Eğim açısı θ arttıkça, pay ve payda değişir; örneğin, $\cos \theta - \mu \sin \theta$ paydası belirli bir θ'da sıfır veya negatif olabilir, bu da fiziksel olmaz. Bu nedenle maksimum hız her zaman artmaz, yanlış.
• D: Formülde $v_{max} \propto \sqrt{g}$, doğru.
• E: μ=0 iken, $v_{max} = \sqrt{r g \tan \theta}$, sıfırdan farklı olabilir (θ>0 ise), doğru.

Yanlış ifade C'dir.

İlk olarak açısal ivmeyi bulalım. $\omega = \omega_0 + \alpha t$ formülünden, durduğunda $\omega=0$, so $0 = 20 + \alpha \cdot 5$, thus $\alpha = -4$ rad/s². Açısal yer değiştirme $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 20 \cdot 5 + \frac{1}{2} (-4) \cdot 25 = 100 - 50 = 50$ rad. Tur sayısı $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{50}{2\pi} \approx \frac{50}{6.28} \approx 7.96$ tur.